数学の質問です。

以下の等式について,両辺が等しくなるのはなぜなのか,詳しく正確に説明して頂けませんか?

2×3×5×7×11×13×17×19×23×・・・ = 4π^2

※左辺にあるのは素数です。「^2」は二乗です。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2014/02/26 02:00:04
  • 終了:2014/03/05 02:05:04

ベストアンサー

id:quintia No.3

quintia回答回数560ベストアンサー獲得回数692014/02/26 15:21:53

ポイント100pt

http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00220-007-0350-z
元論文(↑)pdfの10ページ目。ノンブル上の78ページ。

定理8
すべての素数の超正規化積(super-regularized product)が4π^2に等しい

つまりこの式の×の記号は、日常的な乗算ではなくて新しく定義された演算だということです。

ゼータ関数を2変数化することで定義される超正規化積という演算で、それを用いた「全ての素数の超正規化積」が4π^2に等しい、という内容らしいです。

id:language_and_engineering

役立つ情報をありがとうございます。「正規化積」という名前が分かると,新しい情報を一気に色々調べられますので助かります。

---

ゼータ函数正規化 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%8C%96

  • ゼータ函数正規化(英: Zeta function regularization) とは、物理学での正則化(英語版)や、発散級数と言われる方法である。これによって、発散する和や積に対して有限の値を対応させることができる


Zeta-Regularized Product -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/Zeta-RegularizedProduct.html

2014/02/26 15:51:31

その他の回答(2件)

id:pida6 No.1

pida6回答回数126ベストアンサー獲得回数202014/02/26 11:46:42

ポイント100pt

調べてみましたが,私には理解できませんでした・・・

すべての素数の積が4π^2 になることの証明
|ζ’(n)|/| ζ(n)|= -( Σlogp/(p^n)+ Σlogp/(p^2n)+ Σlogp/(p^3n)+・・・) …②
ここでζ(0)=-1/2ζ’(0)=-1/2log(2^π)
②にn=0 を代入すると
|-1/2log(2^π)|/|-1/2|=-Σlogp-Σlogp-Σlogp・・・
=-(1+1+1+1+1+・・・) *Σlogp
=-ζ(0) Σlogp
=-(-1/2) Σlogp
=1/2Σlogp
よって1/2Σlogp=log(2^π)
Σlogp= log(4π^2)
log2+log3+log5+・・・= log(4π^2)
log(2*3*5*7・・・)= log(4π^2)
2*3*5*7・・・=4π^2
参考;http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q111741526

id:language_and_engineering

ご回答ありがとうございます。しかし,これはググるとすぐに出てくる証明です。これを前提に「正しく詳しい説明」をお願いしたいと思いました。

また,この証明はWeb上で頻繁にコピペされていますが,もとになってるMuñoz(2003)の論文ではMoebius関数を使っており,それより少し精密さに欠けます。

残念ながら,出回っている証明のコピペだけでは,「説明した」とは言い難いのではないか…と思います。(※ポイントは配分させて頂きます。)

2014/02/26 15:09:10
id:aniki1968 No.2

aniki1968回答回数16ベストアンサー獲得回数02014/02/26 12:38:33

色々説明すると長くりますしさっぱりわからないと思うので簡単に説明します。

まず左辺:すべての素数をかけるってことはつまりかける数に終わりがないことはわかりますよね?なので左辺の答えは∞になるのです。永遠にかけることになるので数値はでないのです。これを「発散する」といいます。

そして右辺:何が問題かというとπです。ご存知の通りπってのは3.14159265358979・・・・・と永遠に続きます。ということでこちらも本来の数で計算しますと発散するということなんですよ。
お分かりいただけますか?

なぜ右辺に4があるか疑問だと思いますがこれまた説明が大変で簡単に言うと左辺は素数をかけてるのですべてが奇数、と思いきや初めに2があるわけです。これにより左辺が偶数であることはわかることが関係して4をかけてるという説明が一番わかりやすいかなぁ、、、

まぁ完全に理解したいとなれば是非勉強してください(笑)

id:language_and_engineering

ご回答ありがとうございます。
しかし,申し訳ありませんがポイントは配分できません。


>πってのは3.14159265358979・・・・・と永遠に続きます。ということでこちらも本来の数で計算しますと発散するということなんですよ

→それは発散とは呼びません。超越数の性質です。左辺は無限和の極限の意味で発散すると表現できます。


>なぜ右辺に4があるか

→右辺に4がある理由は,左辺に2があるからではありません。左辺の値をゼータ関数の値で置き換えた結果です。


>永遠にかけることになるので数値はでないのです。これを「発散する」といいます。

→解析接続すれば発散しません。この等式はそれが前提になっています。



質問文中では,「詳しく正確な説明」をお願いしております。

ご回答の内容は,だいぶ正確ではないようです。

2014/02/26 15:02:22
id:quintia No.3

quintia回答回数560ベストアンサー獲得回数692014/02/26 15:21:53ここでベストアンサー

ポイント100pt

http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00220-007-0350-z
元論文(↑)pdfの10ページ目。ノンブル上の78ページ。

定理8
すべての素数の超正規化積(super-regularized product)が4π^2に等しい

つまりこの式の×の記号は、日常的な乗算ではなくて新しく定義された演算だということです。

ゼータ関数を2変数化することで定義される超正規化積という演算で、それを用いた「全ての素数の超正規化積」が4π^2に等しい、という内容らしいです。

id:language_and_engineering

役立つ情報をありがとうございます。「正規化積」という名前が分かると,新しい情報を一気に色々調べられますので助かります。

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ゼータ函数正規化 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%8C%96

  • ゼータ函数正規化(英: Zeta function regularization) とは、物理学での正則化(英語版)や、発散級数と言われる方法である。これによって、発散する和や積に対して有限の値を対応させることができる


Zeta-Regularized Product -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/Zeta-RegularizedProduct.html

2014/02/26 15:51:31
  • id:NAPORIN
    自分自身は説明などできないが
    http://d.hatena.ne.jp/StudyGuide+Memo/20140213/p1
    は発見した。
  • id:language_and_engineering
    >なぽりんさん
    一番のりで正確な情報を投稿して下さいましたね。さすがです。情報収集が速いと思います。
    しかし,私もそのURLは知っております。ググるとすぐに出てくるため。

    >quintiaさん
    仰るとおりです。本当はゼータを使って間接的に表現すべきものを省いた,便宜的な式になります。
  • id:tomindigo
    導き方:Π[p:pime]p=-ζ'(0)/ζ(0)^2であることから、
    ζ(0)=-1/2,ζ0)=-1/2×log(2π)
    を代入すれば4π^2が得られる。その式を導くには
    ζ(s)=Π[p:pime]1/(1-p^(-s))
    のlogをとってs=0のまわりで冪級数展開(指数関数やlogの展開を利用する)
    無限和と微分の可換性を仮定すれば
    ζ'(s)/ζ(s)の冪級数展開が得られるが、
    展開の定数項が-Π[p:pime]p
    であるから、s=0を代入すればよい。
    よくある証明のコピペでは、s=0を代入するタイミングが早すぎてゼータ正規化ができないし、
    ζ(0)とζ(0)+1の区別ができない。最後に代入するのが正解。

    式変形の妥当性:sで冪級数展開して時にオーダが小さい項の係数が発散級数になるが、逆にそれ以外の部分によって発散項を書き表すと、すべて複素平面上の有理型関数で書ける。よって発散項を解析接続すれば(つまり第二項をゼータ正規化、定数項をゼータ超正規化すれば)発散項を有理型関数と見做せる。

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