「【暇な中学生】へ【数学】をプレゼント(新高1以下対象)その2

今度は【球】より、もう少し、イメージし易いと思います。
問題として、4次元立方体の各要素数を考えてください。
線には点が、面には線が、立体には面が無限にある・・・なんて言わないで下さい、あくまで境界[点、線、面・・・]を考えてください。
3次元立方体(普通の立方体)の延長の考えで、縦・横・奥行き・第4の方向が垂直に各辺があり、各辺の長さが1の4次元体です。
次元↓ 要素→  a(点)   b(線)    c(面)    d(立体)    e(4次元体)
0次元(点)   a0=1     
1次元(直線)  a1=2   b1=1
2次元(正方形) a2=4   b2= 4  c2=1
3次元(立方体) a3=8   b3=12   c3=6    d3=1
これが【問題】です↓↓
4次元(4次元体)a4=?  b4=??  c4=???  d4=????  e4=1
a4,b4,c4,d4を答えて下さい。
約束ですから、延長しました。あと一週間考えてください。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2014/04/03 01:11:24
  • 終了:2014/04/10 00:03:00

ベストアンサー

id:bakanahito No.1

bakanahito回答回数5ベストアンサー獲得回数22014/04/03 15:52:18

ポイント100pt

表を書いて思いついただけだからなんでそうなるのかの説明は無理っす。

1,
2, 1
4, 4, 1
8,12, 6, 1

aは倍々になってるからan=2^nと仮定するとa4は16かな...
あとはa1の右下(b2)はa1の2倍の4、
a2の右下(b3)はa2の3倍の12、
a3の右下(b4)をa3の4倍だとしたら32だろうか。

a2の右下は3倍、b2の右下は3/2倍になってるから、
c2の右下を1倍では無く3/3倍と見なすと法則が浮かんできた気がする。
a3の右下が4倍だから、b3の右下(c4)は4/2倍=2倍で24、c3の右下(d4)は4/3倍で8。
出す必要もないけどd3の右下(e4)は4/4倍=1倍で1。

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id:tazikisai-mukou

きみの解き方(段階を踏んで徐々に解く)は、もう一つの「4次元球」の問題の方に合ってると思いますので、是非、そちらにも解答下さい。正しいかどうかは気にしないで下さい。

2014/04/04 09:43:08
id:tazikisai-mukou

どうも難しすぎたようでした(最終的な解答は簡単なのですが、そこへ至るイメージが出来なかったようですね)

2014/04/10 00:02:16
  • id:tazikisai-mukou
    解説【正則体】 (単位距離を1とする)
    次元↓ 
    0次元(点)=   1点 
     =>1点から1離れた所に点を取り、2点間を繋ぐ直線を作る
    1次元(直線)=  2つの端点 と 長さ1の1本の直線
     =>1直線から垂直に1離れた所に同一の直線を作り、2線間を繋ぐ平面(正方形)を作る=>
    2次元(正方形)= 4つの角 と 4本の直線(辺) と 1つの正方形
     =>1つの正方形から垂直に1離れた所に同一の正方形作り、2面間を埋める立体(立方体)を作る=>
    3次元(立方体) 8つの角 と 12本の直線(稜) と 6つの面(正方形)と 1つの立方 
     =>1つの立方体から垂直に1離れた所に同一の立方体作り、2立方体間を埋める超立体を作る=> 
    4次元(超立方体)16個の端点 と 32本の直線 と 24の面(正方形) と 8つの立方体 と 1つの超立方体

    次元↓ 点      直線        正方形      立方体    超立方体
     0  1 
     1 1x2=2  1
     2 2x2=4  2+1x2=4   1
     3 4x2=8  4+4x2=12  4+1x2=6   1
     4 8x2=16 8+12x2=32 12+6x2=24 6+1x2=8 1
    となります。
  • id:tazikisai-mukou
    解説【正単体】 (単位距離を1とする)
    次元↓ 
    0次元(点)=   1点 
     =>1点から1離れた所に点を取り、2点間を繋ぐ直線を作る
    1次元(直線)=  2つの端点 と 長さ1の1本の直線
     =>1直線の2端点から1離れた所に1点を取り直線と1点を繋ぐ平面(正三角形)を作る=>
    2次元(正三角形)= 3つの角 と 3本の直線(辺) と 1つの正三角形
     =>1つの正三角形の3点から1離れた所に1点を取り、3角形と点をつなぎ、4面体の空間を埋める立体(4面体)を作る=>
    3次元(4面体) 4つの角 と 6本の直線(稜) と 4つの面(三角形)と 1つの4面体 
     =>1つの4面体の4点から1離れた所に1点を取り、4面体と点を繋ぎ、内部を埋める超4面体を作る=> 
    4次元(超4面体)5個の端点 と 10本の直線 と 10の面(正三角形) と 5つの4面体 と 1つの超立方体

    次元↓ 点      直線     正三角形    正4面体   超正4面体
     0  1 
     1 1+1=2  1
     2 2+1=3  2+1=3  1
     3 3+1=4  3+3=6  3+1=4   1
     4 4+1=5  4+6=10 6*4=10  4+1=5  1
    となります。
  • id:tazikisai-mukou
    答え【4次元球】 (xはエックスでは無く掛け算記号です)
    S(境界の大きさ):2xパイXパイxrxrxr=2(π^2)(r^3)
    V(内部の大きさ):(1/2)xパイxパイxrxrxrxr=(1/2)(π^2)(r^4)
    です。

    求め方、論理的ではないかもしれませんが、
       S1=2;S2=2πr;S3=S1x(2/1)πr^2=4πr^2;
    S4=S2x(2/2)πr^2=2(π^2)(r^3)

    V0=1;V1=2r;V2=V0x(2/2)πr^2=πr^2;
    V3=V1x(2/3)πr^2=(4/3)πr^3;
    V4=V2x(2/4)xπr^2=(1/2)(π^2)(r^4)
    になります。
    奇数次元、偶数次元同士に関連が有ることに気付いたらその先の次元も分かるでしょう。
    因みに、境界の大きさ(表面積)と内部の大きさ(体積)の関係は次元をNとした時(r/N)になります。---N次元体の重心の位置から求まります。

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