戸籍の名前に誤りがあったことが大人になってから発覚した場合に改名をする場合に、どれくらいの時間がかかるでしょうか？弁護士や司法書士に依頼する場合と自分でやる場合に分けて回答をお願いいたいします。

家庭裁判所への申し立てから通常一ヶ月以内に審判の結果が通知され、その後役所での変更の届が可能になるとされています。居住地と本籍地が違うと役所の手続きにも少し時間がかかると思います。
自治体により違いがあるので正確にはわかりませんが、参考までに以前別の手続きで本籍地の役所とやりとりしたときは郵便で結果の返送を受けるまで10日ほどかかりました。不測の事態を考えて余裕をみておいたほうがいいでしょう。

参考になりそうな手続きの流れについてです。
http://namaehenkou.com/flow/

追記です。弁護士や司法書士、行政書士に依頼してやってもらう場合と、自分で家庭裁判所で申立書に記入する場合とでは手続きに要する時間そのものは変わりません。
ただ記入のコツはあるようですので費用と相談して決めることになります。

申請後家庭裁判所から一ヶ月以内に、呼び出しまたは通知されます。
自分で申請する場合も、依頼する場合も日数はだいたい同じです。
http://www.s-kougen.com/meikai82.htm
http://kaimei.jimdo.com/q-a/
ただ、依頼の場合だと早い所だと最短23日間という事例もあります。
http://www.koseki-kaimei.com/

上記19日間＋4日間（申立書の作成・提出や家裁に受理されてから面談日が決まるまで）の
総合計23日間という極短期間で改名に成功した

また、こちらも参考に
http://shin7.okunohosomichi.net/
http://shin7.okunohosomichi.net/01.html