匿名質問者
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(算数 中学受験 割り算)

9でわって6余り、11でわると3余る数のうち、最も小さい整数は(解答=69)です。の解説で、
9でわって6余る数をいくつか書き出すと、 6,15,24、、
11でわると3余る数をいくつか書き出すと 3,14、25、、
なので、
(15-3)÷(11-9)=6
3たす11×6=69 (足す の 文字記号が文字化けします すいません)
こたえ 69。とありましたが、その意味が分かりません。小学生レベルでどうぞよろしくお願いします。剰余の定理を使って説明いただいても結構ですが、恐縮ですが mod などは用いずに説明してください。多少の記号、a,b,c やx、yなら大丈夫です。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2014/07/31 13:45:47
  • 終了:2014/08/04 13:08:17

ベストアンサー

匿名回答2号 No.2

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2014/07/31 14:38:37

9で割ると6あまる数をみていくと6(=0×9+6)。15(=1×9+6)。
つまり正解はn×9+6であるという表し方が一つ。
同様に11で割ると3余る数はm×11+3である。
これは同じ目標についての表現なので、n×9+6=m×11+3ですが移項は小学校でならわないから今はおいておきます。
さらに9でわって6余る数をいくつか書き出すと、 6,15,24、どれも3の倍数である。(9と6だから当然ですね)
11でわると3余る数をいくつか書き出すと 3,14、25、だが、めったに3の倍数は出てこない。
めったに出てこないなかで、最初にでてくる3の倍数であるのは11m+3のmがゼロである場合、つまり3である。
そして11は9より2だけ大きくステップを踏んで進むので、最小のmやnを求めるにあたっては、mとnの間には、m+1=nという関係が成り立つと考えられる。(あと9と11が互いに素だしね)

11m+3のmがゼロだったので、nはmより1つおおきい1を採用して15をサンプルにとる。
あとは(15-3)÷(11-9)=6 ということで何ステップで差を埋めておいつけるかを求めたら6でしたよと。
最後に、ステップ後の立ち位置を算出する。今回は11側から余り3+11×6(ステップ)=69と算出できた。
9側のルートなら、(6+1ステップ)×9+6余りが答えで、どちらにせよ69。
 
ステップが1違うだろうという予測ができれば3の倍数とかいらないんですかね。これ。

他2件のコメントを見る
匿名質問者

何度もご親切にありがとうございます。確かに「3の倍数云々」は、この解き方をする場合には特別関係はなさそうですね。他の数字の場合でも、試してみましたが、このやり方で解けました。 ただ、補足で仰っているように「どのペア」に着目するのか、というのがポイントになるのでしょうね。着目するペアを間違えると(補足のようの 3 と 6 をペアとしてしまうと)うまくいかなくて、適切なペアで考えるようにすると(最初のご説明のように 3 と 15 のペアで考えるようにする)うまくいくのですね。 

2014/08/01 08:38:38
匿名質問者

ありがとうございました。解答集の解き方についての説明をわかりやすくしていただいたので、こちらをベストアンサーとさせていただきました。

2014/08/04 13:09:29

その他の回答(2件)

匿名回答1号 No.1

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2014/07/31 14:19:27

その数をxと置くと、9でわって6余りなので

 x = 9×a + 6 (aは自然数)

11でわると3余るので

 x = 11×b + 6 (bは自然数)

よって

 9a+6 = 11b+3

となります。
 ここから

 b = ( 9a + 3 )/11

となります。
 bはなるべく小さい自然数なので、一から順番に試します

 1 = ( 9a + 3 )/11 → a = 8/9 (自然数にならないので×)
 2 = ( 9a + 3 )/11 → a = 19/9 (自然数にならないので×)
(省略)
 6 = ( 9a + 3 )/11 → a = 63/9 = 7 (自然数になので○)

 x = 9×a + 6 , a = 7 より
 x = 9×7 + 6
  = 63 + 6
  = 69

以上。

 ・・・ちょっと苦しいかなw

匿名質問者

早速に、わかりやすい解説ありがとうございます。文字式も難しいものではなく、少し変形して、整数条件から絞り込めば解けるのですね。ありがとうございました。 ただ、解説書の解き方については、どういう意味なのかが、わからないので、もしそちらもわかればお教えください。

2014/07/31 14:32:20
匿名質問者

質問者から

匿名質問者2014/07/31 21:36:09

(15-3)÷(11-9)=6
3×11×6=69 とあるのは、文字化けで、
3+11×6=69 です。失礼しました。

匿名質問者

質問者から

匿名質問者2014/07/31 14:34:19

質問文を編集しました。詳細はこちら

匿名回答2号 No.2

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2014/07/31 14:38:37ここでベストアンサー

9で割ると6あまる数をみていくと6(=0×9+6)。15(=1×9+6)。
つまり正解はn×9+6であるという表し方が一つ。
同様に11で割ると3余る数はm×11+3である。
これは同じ目標についての表現なので、n×9+6=m×11+3ですが移項は小学校でならわないから今はおいておきます。
さらに9でわって6余る数をいくつか書き出すと、 6,15,24、どれも3の倍数である。(9と6だから当然ですね)
11でわると3余る数をいくつか書き出すと 3,14、25、だが、めったに3の倍数は出てこない。
めったに出てこないなかで、最初にでてくる3の倍数であるのは11m+3のmがゼロである場合、つまり3である。
そして11は9より2だけ大きくステップを踏んで進むので、最小のmやnを求めるにあたっては、mとnの間には、m+1=nという関係が成り立つと考えられる。(あと9と11が互いに素だしね)

11m+3のmがゼロだったので、nはmより1つおおきい1を採用して15をサンプルにとる。
あとは(15-3)÷(11-9)=6 ということで何ステップで差を埋めておいつけるかを求めたら6でしたよと。
最後に、ステップ後の立ち位置を算出する。今回は11側から余り3+11×6(ステップ)=69と算出できた。
9側のルートなら、(6+1ステップ)×9+6余りが答えで、どちらにせよ69。
 
ステップが1違うだろうという予測ができれば3の倍数とかいらないんですかね。これ。

他2件のコメントを見る
匿名質問者

何度もご親切にありがとうございます。確かに「3の倍数云々」は、この解き方をする場合には特別関係はなさそうですね。他の数字の場合でも、試してみましたが、このやり方で解けました。 ただ、補足で仰っているように「どのペア」に着目するのか、というのがポイントになるのでしょうね。着目するペアを間違えると(補足のようの 3 と 6 をペアとしてしまうと)うまくいかなくて、適切なペアで考えるようにすると(最初のご説明のように 3 と 15 のペアで考えるようにする)うまくいくのですね。 

2014/08/01 08:38:38
匿名質問者

ありがとうございました。解答集の解き方についての説明をわかりやすくしていただいたので、こちらをベストアンサーとさせていただきました。

2014/08/04 13:09:29
匿名回答3号 No.3

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2014/08/01 00:57:26

中学受験だと思うと、模範解答の解き方って、あまり良くないですよね。

「9でわって6余り」で、求める数字が3の倍数だ、ということに気が付いて、「11でわると3余る数」が3の倍数になるときは、11にかける数字が3の倍数じゃなくちゃいけない、というところにたどり着く。
11にかける数字を、0、1、と試してみると

・11×0+3=3   ・・・ 9でわって余り3
・11×3+3=36  ・・・ 9でわって余り0
・11×6+3=69  ・・・ 9でわって余り6 これだ!

って、ことじゃないかな。

直接の回答じゃなくて、ごめんなさい。

匿名質問者

ご親切にありがとうございます。一番確実なのは、それぞれ順番に7~8個書き出していけばやがては解答にたどり着くのだろうと思います。 「9でわって6余り」で、求める数字が3の倍数・・ に気がつけば、この作業がかなり短縮されるということで、よく分かりました。 模範解答は、小学生レベルからすると、少しテクニック駆使(?)ということなのかもしれませんね。 色々な考え方を教えてもらい、大変参考になりました。

2014/08/01 07:26:39

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