数学の問題です。『7桁の自然数564A628(Aは0から9の自然数)が11で割り切れるようなAを求めなさい。』解き方は問題Dの解き方と同じように解いていただけるとこれ幸いです。


問題D『34A43が9で割り切れるようなA(Aは0〜9の整数のどれか)を求めない。』
【問題D解説&回答】

まずは34A43を「三万四千A百四十三」として扱えるように
34A43=3×10の4乗+4×10の3乗+A×10の2乗+4×10+3
と書く必要があります。これが9で割り切れる、すなわち
3×10の4乗+4×10の3乗+A×10の2乗+4×10+3≡0〔mod 9〕
となるようにAの値(A=0〜9のどれかの数字)を決めます。以下9を法として考えることにします。
10≡1なので、10は1で置き換えることができます。やってみると
3×10の4乗+4×10の3乗+A×10の2乗+4×10+3≡
3×1の4乗+4×1の3乗+A×1の2乗+4×1+3≡14≡A≡0
となり、14+Aを9で割った余りが0になる。つまり9で割り切れればいいことがわかります。14より大きい9の倍数は18や27ですが、Aは0から9の数字のどれかですから27はダメです。18ならA≡4とすればOKなので、A≡4が答えです。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2014/10/04 15:50:33
  • 終了:2014/10/11 15:55:04

ベストアンサー

id:Sugaku No.2

Sugaku回答回数2ベストアンサー獲得回数12014/10/04 17:30:34

問題文にあるとおりの考え方(mod 11)を使って,解答を作っておきました。


【整数問題】 11で割り切れる数の判定法と,桁の求め方。例題と解答
http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Tips/20141004/p1

id:Sugaku

間違えて 34A43 について解いていたので,564A628 を解く回答に差し替えておきました。

10を -1 に置き換えることができるのがポイントです。

2014/10/04 17:51:58

その他の回答(2件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032014/10/04 17:16:10

 こちらは参考になるでしょうか。
[564A628]=5*100 0000+6*10 0000+4*1 0000+a*1000+6*100+2*10+8
5*100 0000+6*10 0000+4*1 0000+a*1000+6*100+2*10+8≡0 [mod 11]
100 0000≡+1
10 0000≡10≡-1
1 0000≡+1
1000≡-1
100≡+1
10≡-1
∴5-6+4-a+6-2+8≡0 [mod 11]

 ちなみに、JavaScriptなら、簡単に答えが出ます。(^_^;

<script>
var n=5640628;
for(var a=0; a<=9; a++){
  if((n+a*1000)%11==0) document.write(a,"<br>");
}
</script>
id:Sugaku No.2

Sugaku回答回数2ベストアンサー獲得回数12014/10/04 17:30:34ここでベストアンサー

問題文にあるとおりの考え方(mod 11)を使って,解答を作っておきました。


【整数問題】 11で割り切れる数の判定法と,桁の求め方。例題と解答
http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Tips/20141004/p1

id:Sugaku

間違えて 34A43 について解いていたので,564A628 を解く回答に差し替えておきました。

10を -1 に置き換えることができるのがポイントです。

2014/10/04 17:51:58
id:a-kuma3 No.3

a-kuma3回答回数4537ベストアンサー獲得回数18882014/10/04 17:38:07

問題D の解き方をなぞっただけなんですけど :-)


564A628 を 10 のべき乗で表す。

5×10^6 + 6×10^5 + 4×10^4 + A×10^3 + 6×10^2 + 2×10 + 8 ≡ 0 [mod 11]
5×100^3 + 6×10×100^2 + 4×100^2 + A×10×100 + 6×100 + 2×10 + 8 ≡ 0 [mod 11]

100 ≡ 1

5×1^3 + 6×10×1^2 + 4×1^2 + A×10×1 + 6×1 + 2×10 + 8 ≡ 0
5 + 60 + 4 + 10×A + 6 + 20 + 8 ≡ 0
10×A + 103 ≡ 0
11×A - A + 103 ≡ 0
-A + 103 ≡ 0

103 より小さい 9 の倍数は、99、88、77 ……
99 だと A は 4。
88 だと A は 15。
0 ≦ A ≦ 9 なので、A = 4。

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