6-2 高校数学の確立の問題です

問題http://imgur.com/GzOMwYf
解説http://imgur.com/oDTqjMq
解説続き http://imgur.com/UkyLdF1
abca,baca,bcaaの3タイプあるとあるのですが、acbaは考えなくていいんですか?

まずは2個のaから数えるとどのタイプも20・1・18・6通りとあるんですが、何故この掛け算になるのか分かりません最初の20は20個からどの番号を選ぶか20通りなので20と分かるんですが、次の1が分からないです、次の18は最初の球と2番目の球以外の18通りということでしょうか?次の6は何で6なのか分からないです
(2)は2個目と4個目の番号の組み合わせ 次に2個目と4個目の色 最後に1個目と3個目の球
の順に考えると [10]C[2]×2^2×18×17=20×9×18×17通りってあるんですが

ここも何でこんな計算になるのか分かりません
(2)の別解で2個目と4個目の番号を組み合わせてから作ると考えるとP(a[2]<a[4])=P(a[2]>a[4])とあるんですがa[2]>a[4]とa[2]<a[4]が何で同じになってるのか分かりません
よってP(a[2]<a[4])=1/2×{1-P(a[2]=a[4])}=1/2×(1-1/(19))の所なのですが
P(a[2]<a[4])=1/2×{1-P(a[2]=a[4])}が成り立つのが分かりません、それとP(a[2]=a[4])が何故1/(19)になるのかも分からないです

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  • 登録:2014/10/16 22:55:36
  • 終了:2014/10/20 11:36:47

ベストアンサー

id:a-kuma3 No.1

a-kuma3回答回数4606ベストアンサー獲得回数19432014/10/16 23:36:27

abca,baca,bcaaの3タイプあるとあるのですが、acbaは考えなくていいんですか?

考えなくて良いです。
3つのタイプは、こういうこと。

  • 1個目と4個目が同じ(2個目と3個目は、違う数字で、1個目、4個目とも違う)
  • 2個目と4個目が同じ(1個目と3個目は、違う数字で、2個目、4個目とも違う)
  • 3個目と4個目が同じ(1個目と2個目は、違う数字で、3個目、4個目とも違う)

b と c は、便宜的に、a と違ってて、b と c も、それぞれ違う数字だ、ということを表しているだけです。

四つ目で初めて同じ数字が出るということは、三つ目までは違う数字だから、abc 。
で、四つ目にくる数字が a、b、c のどれかだから、3タイプは、abca、abcb、abcc である、と書いてるのと同じです。

まずは2個のaから数えるとどのタイプも20・1・18・6通りとあるんですが、何故この掛け算になるのか分かりません

最初の 20 は、20個のうちのどれをとっても良いから、20通り。
次の 1 は、最初の 20通りと同じ数字を取らなきゃいけないので、最初のと色違いで同じ数字、という意味で、1通り。
これで、2個の同じ数字を取ってしまったので、三番目の 18 は、残りの 18通り。
最後の 16(6 じゃなくて、16 です)は、後、17個残っているのですが、三番目の色違いで同じ数字を入れちゃいけないので、16通りです。

(2)は2個目と4個目の番号の組み合わせ 次に2個目と4個目の色 最後に1個目と3個目の球
の順に考えると [10]C[2]×2^2×18×17=20×9×18×17通りってあるんですが
ここも何でこんな計算になるのか分かりません

「まず、2個目と4個目の番号の組み合わせ」
4個目が 2個目よりも大きいということは、同じ数字ではない。
1~10 の数字から二つ選んで、大きい方を 4個目にする、と考えれば良い。
つまり、番号の組み合わせは 102

「つぎに、2個目と4個目の色」
色のことを考えると、2個目と4個目の番号は、違う数字だから、同じ色になることもある。
2個目が、白・赤の 2通り、4個目も、白・赤の 2通り。
なので、2×2=22

「最後に、1個目と3個目の玉」
2個目と4個目で、玉を 2個選んじゃってて、残りの 18個から、2個選ぶ順列だから 182 = 18・17 。



今度は、別解。
P(a2<a4) は、2個目よりも 4個目が大きい確率。
P(a2<a4) = ¥frac{?}{20 ¥cdot 19 ¥cdot 18 ¥cdot 17
? がいくつかは、とりあえず分からないとして、2個目と4個目の玉を入れ替えたときを、想像してみる。
2個目と4個目の玉を入れ替えた、ということは、2個目よりも 4個目が小さい場合、ということ。
全ての場合で、ひっくり返すことができるので、?は、2個目よりも 4個目が小さい場合の組み合わせの数とも言える。
つまり、それを 20個から 4個連続で取り出す組み合わせの数で割ると、2個目よりも 4個目が小さい確率。
つまり、P(a2>a4) 。

P(a2<a4) = ¥frac{?}{20 ¥cdot 19 ¥cdot 18 ¥cdot 17 = P(a2>a4)

互いに疎な集合の確率の合計は1です。
2個目と4個目の数字の大小に着目すると、以下の 3パターンしかなくて、互いに疎。

  • 2<a4
  • 2=a4
  • 2>a4

つまり、
P(a2<a4) + P(a2=a4) + P(a2>a4) = 1

P(a2<a4) = P(a2>a4) だったので、P(a2>a4) を消去すると、

2×P(a2<a4) + P(a2=a4) = 1

もう、分かりますよね :-)

他18件のコメントを見る
id:a-kuma3

そうです :-)

2014/10/20 01:44:29
id:ronginusu

有難うございます、宜しければ6-4や6-3もお願いしたいです

2014/10/20 02:33:47
  • id:ronginusu
    非常に分かりやすかったのですが最初の 20 は、20個のうちのどれをとっても良いから、20通り。
    次の 1 は、最初の 20通りと同じ数字を取らなきゃいけないので、最初のと色違いで同じ数字、という意味で、1通りこれで、2個の同じ数字を取ってしまったので、三番目の 18 は、残りの 18通り。
    最後の 16(6 じゃなくて、16 です)は、後、17個残っているのですが、三番目の色違いで同じ数字を入れちゃいけないので、16通りです。 の所で球を取り出した順番と数える時の順番が違いますが、これは何でこんな事が許されるのですか?

    それと「最後に、1個目と3個目の玉」
    2個目と4個目で、玉を 2個選んじゃってて、残りの 18個から、2個選ぶ順列だから 18P2 = 18・17  の所なのですが

    これは[18]C[2]では駄目なんですか?

    後はP(a[2]=a[4])が何故1/(19)になるんですか?

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