6-5 高校数学の確率の問題です


問題http://imgur.com/6AzuR8j
解説http://imgur.com/hhsVUXN

n回目に勝負がついていないのは○●○●・・・となることで、このようになる確率が
(1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1)とあるのですが何故(1/2)^(n-k-1)になるのか分かりません 後最初に勝った場合で考えていますが負けた場合は考えなくていいんですか?
よってn回目に勝負が付かない確率はP[n]=Σ[k=0→n-1][n]C[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]C[k]/2^nの式も何でこんな式になるのか分かりません

求める確率がP[n-1]-P[n]で求まるのも良く分かりません

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  • 登録:2014/10/17 11:29:58
  • 終了:2014/10/19 22:07:38

ベストアンサー

id:a-kuma3 No.1

a-kuma3回答回数4561ベストアンサー獲得回数19052014/10/17 13:58:20

n回目に勝負がついていないのは○●○●・・・となることで、このようになる確率が
(1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1)とあるのですが何故(1/2)^(n-k-1)になるのか分かりません 後最初に勝った場合で考えていますが負けた場合は考えなくていいんですか?

「n回中k回が△であるという条件のもとで」なので、合計n個の○●△のうち、△がk個。
なので、○●の合計の個数は、n-k個。

n回目までに勝負がついていない、ってことは、・・○○・・というのが無い、ということ。
また、・・●●・・も無い。相手が勝っちゃうから。

で、(△をのぞいた)最初は、でもでも良い(確率は1)。
(△をのぞいた)二回目は、一回目の反対だから確率は ¥frac{1}{2}

三回目、四回目、と続けて、n-k回目までが、1 ¥cdot ¥frac{1}{2} ¥cdot ¥frac{1}{2} ¥hspace{10} ... ¥hspace{10} ¥frac{1}{2}

最初の 1 も入れて、n-k個なので、¥left(¥frac{1}{2}¥right)^{n-k-1}

「ただし、k=nのときは...」は、良いですよね。

よってn回目に勝負が付かない確率はP[n]=Σ[k=0→n-1][n]C[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]C[k]/2^nの式も何でこんな式になるのか分かりません

n回中k回が△になって、まだ勝負がついてない確率は、ふたつの式のかけ算なので、
¥frac{n ¥LARGE C ¥normalsize k}{2^n} ¥cdot ¥left(¥frac{1}{2}¥right)^{n-k-1}

n回目に勝負がつかない確率は、△の数、つまりkが、0のとき、1のとき、... k=n のときの合計です。
なので、本当は、以下のように書きたい(Σがnまで)。
¥sum_{k=0}^{n} ¥frac{n ¥LARGE C ¥normalsize k}{2^n} ¥cdot ¥left(¥frac{1}{2}¥right)^{n-k-1}

でも、k=nのときだけは、ふたつ目の式が1になることが分かってるので、k=nだけを別にします。
k=0~n-1までは、
¥sum_{k=0}^{n-1} ¥frac{n ¥LARGE C ¥normalsize k}{2^n} ¥cdot ¥left(¥frac{1}{2}¥right)^{n-k-1}

k=nのときだけは、
¥frac{n ¥LARGE C ¥normalsize n}{2^n}

なので、k=0~nまでの合計は、上の2式の足し算になります。
¥sum_{k=0}^{n-1} ¥frac{n ¥LARGE C ¥normalsize k}{2^n} ¥cdot ¥left(¥frac{1}{2}¥right)^{n-k-1} + ¥frac{n ¥LARGE C ¥normalsize n}{2^n}


求める確率がP[n-1]-P[n]で求まるのも良く分かりません

n回目の勝負だけに着目すると、勝負がつく確率+勝負がつかない確率=1 です。
n-1 = Pn-1×1
   =Pn-1×(勝負がつく確率+勝負がつかない確率)
   =Pn-1×勝負がつく確率 + Pn-1×勝負がつかない確率

「Pn-1×勝負がつく確率」は、n-1回目までは勝負がつかなくて、n回目で初めて勝負がつく確率です。
これが、この問題で求めるもの。

「Pn-1×勝負がつかない確率」は、n-1回目までは勝負がつかなくて、さらにn回目でも勝負がつかない確率です。
これは、n回目まで勝負がつかない確率ということなので、Pn-1×勝負がつかない確率 = Pn です。

n-1 = n回目で初めて勝負がつく確率 + Pn
n-1 - Pn = n回目で初めて勝負がつく確率

となります。

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id:a-kuma3

ここまでは分かるのですが、この次の2/2^(2n)×{(2+1)^n-2^n}+1/2^n(二項定理)への変形が分かりません

二項定理は習いましたか?
二項定理 - Wikipedia
(x+y)^n = ¥sum_{k=0}^{n} n ¥LARGE C ¥normalsize k ¥hspace{5} x^k y^{n-k}

以下の部分に着目します。

¥sum_{k=0}^{n-1} n ¥LARGE C ¥normalsize k ¥hspace{5} ¥cdot 2^k

シグマをn-1からnにするとしたら、k=nの分を差し引けば、同値です。

= ¥sum_{k=0}^{n} n ¥LARGE C ¥normalsize k ¥hspace{5} ¥cdot 2^k - n ¥LARGE C ¥normalsize n ¥hspace{5} ¥cdot 2^n

ここで、二項定理を使います。
x=2、y=1で、考えます。

= ¥sum_{k=0}^{n} n ¥LARGE C ¥normalsize k ¥hspace{5} ¥cdot 2^k ¥cdot 1^{n-k} - n ¥LARGE C ¥normalsize n ¥hspace{5} ¥cdot 2^n

= (2+1)^n - n ¥LARGE C ¥normalsize n ¥hspace{5} ¥cdot 2^n

nn=1なので、以下のようになります。

= (2+1)^n - 2^n

2014/10/19 21:50:24
id:ronginusu

分かりました~有難うございました

2014/10/19 22:06:23

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