【1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12 を分かったつもりになりたい】

1 + 2 + 3 + 4 + … が -1/12 となると聞いたとき、たいへん驚きました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4%2B%E2%80%A6
そこで質問(a)(b)です。

質問(a) 「この数式が成り立つ」理由は?

[1] 「足す」の意味が、普通の数学と違う
[2] = の意味が、普通の数学と違う
[3] 1,2,3、もしくは -1/12 の意味が、普通の数学と違う
[4] 無限を扱うと、この程度の不思議さは当たり前にある
[5] これが成り立つのは普通の数学ではない、特殊な数学である
[6] [1]~[5]のどれでもない

質問(b) この不思議さと同等の不思議さを、自分でもわかるような数学の例に置き換えて説明してください。

たとえば回答例です。
 (a)・・・[5]
 (b)・・・リーマン幾何学は、平面ではなく球上の幾何学なので、三角形の内角の和が180度より大きくなるようなもの

それでは、よろしくお願いいたします。

※諸注意を補足欄に書きます

回答の条件
  • 1人3回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2014/11/25 01:42:18
  • 終了:2014/11/26 00:00:46
id:lionfan2

[6]の場合、無理矢理でOKなので、まだしも[1]~[5]のどれに近いかを教えてください。

[1]~[5]中の「普通の数学」の意味は、「高校までで学んだような数学や、それを自然に拡張した数学」くらいの意味です。「自然に拡張」には、できれば突っ込まないでください。

[4]と答える方は、この数式の不思議さは、自分には「ヒルベルトの無限ホテル」系とは別種の不思議さに思えますので、そこも説明いただけると助かります。

三浦俊彦の本で、バナッハ・タルスキーの定理が成り立つのは、球を「分割する」の意味が通常と違うからだが、それはたとえば自然数 2 を、 1+√2, 1-√2 と無理数に分割できるようなものだ・・・といった説明があり、えらく「わかった」気分になりました。そのような説明だったら最高ですね!!

ベストアンサー

id:nakaken88888888 No.2

ナカケン88回答回数3ベストアンサー獲得回数12014/11/25 23:04:38

ポイント250pt

まず質問(a)についてですが、[6]です。

ここの「1+2+3+4+…」は、普通の人が思っている「1+2+3+4+…」ではありません。そういう意味では、むりやり選択肢から選ぶと、[5]かもしれません。

以下、どういうことか説明したいと思います。


やっていることとしては、かなり乱暴に言うと、こういうことに似ています。例えば、1+x+x^2+x^3+…というのは、xの絶対値が1より小さい場合、1/(1-x)と一致します。ここにむりやりx=2として「1+2+4+8+…=-1」としているようなものです。

もちろん、これを本気で言うのはただのバカです(そもそもx=2のときには、上の和は1/(1-x)に収束しないからです)。しかし、これが複素解析という分野の話になると、少し事情が異なってきます。複素解析では、一部で定義した関数を拡張して考える、というのはとても自然な発想なんです。本題に入るまえに、ちょっと長いですが複素解析の話を簡単に書きます。


複素解析とは、複素数の関数に対して微分や積分を考える分野です。基本的には実数の関数のときと似ているのですが、複素関数の微分というのは、実数の関数の微分より条件が厳しいんです。

微分というのは、ざっくりいうと「xをちょっと動かしたときにf(x)がどれだけ動くか」という比率を表したものですが、実数の場合、直線なのでxの動かし方が大小2方向しかありません。しかし複素数の場合は平面なので、動かし方がたくさんあるんですよね。上下左右に加え、斜めもあるし、回転しながらもありえる。どんな動かし方をしても、収束値が1つにならないと微分可能とはいえません。なので、「実数の世界で微分可能」というのと「複素数の世界で微分可能」というのは、ぜんぜん厳しさが違うんです。

「複素数の世界で微分可能」という条件が厳しすぎるため、次のような不思議なことが成り立ってしまいます:「微分可能な2つの複素関数が、一部分で一致していたら、全体でも一致している(ざっくり表現)」。他にも不思議なことが成り立つのですが、このようにもはや「実数の世界の微分可能」とは全く違うため、「複素数の世界で微分可能」な関数には「正則関数」という新たな名前がついているくらいです。

上で書いた性質を知れば、一部分で定義されている正則関数をどんどん広げていきたくなります。もし広げられれば、そんな正則関数は1つしかないとわかっているので、どうせなら広くしたほうがいいですよね。数学の世界では、複素解析に限らず、どんどん広げて拡張する、というのはよくある話なんです。このように、正則な複素関数の定義域をどんどん広げていく手法を「解析接続」と言います。


ここでようやく本題に戻ってくるのですが、「1+2+3+4+…」を計算するときの手順を書いていきます。まず、この式を一般化した次の関数を考えます。

Σn^(-s) (nはすべての自然数を走る、sは任意の複素数)

これには「ゼータ関数」という名前がついていて、ζ(s)と表します。ちなみに、ζ(-1)というのが、「1+2+3+4+…」と一致しているわけですね(この時点では)。

このゼータ関数は、sの実部が1以下の場合は発散しますが、それ以外では収束します。そこで、その収束する部分に対しては収束値を計算し、次に上述の解析接続をするんですね。収束している領域では一致していて、かつ、正則な関数というのは1個しかないので、「発散している領域に対しては、その正則な関数で上書きする」ということです。

つまり、ζ(-1)はもともと発散していたんだけれども、解析接続によってζ(-1)が定義できるようになったんです(正則なまま拡張する、という条件で広げているので定義できるようになった)。複素解析の世界では、この新しい関数をゼータ関数だと思い直して扱うんです。もちろん、もともと発散していた領域に対しては、中身は違っているんですよね。

この新しいゼータ関数でのζ(-1)は、特殊な計算をすると-1/12と計算できるんですね。ただ、このζ(-1)を「1+2+3+4+…」と書いちゃうのは、厳密に言えば間違っているんです。解析接続した後は、式も変わっているはずだからです。

しかし、複素解析を学んだ人たちにとっては、解析接続をするのは自然なことだし、ゼータ関数が上のように解析接続して得られた関数であることも知っています。なので、「1+2+3+4+…=-1/12」と書いただけで、「あぁ、Σn^(-s)を解析接続してs=-1を入れた値が-1/12なんだな」とわかるんですね。

よって、上でも書いた通り、「1+2+3+4+…」は普通の人が思っている「1+2+3+4+…」ではない、が正解じゃないかな、と思います。

普通の人が、「1+2+3+4+…=-1/12」は変だ、というのはとても自然なことです。普通の式では成り立たないからです。しかし、数学やってる人が、「1+2+3+4+…=-1/12」は変だ、と言っても、「ゼータ関数も知らんとは」と言われて終わりです。


ちなみに、「無理やり」-1/12となる計算も書いておきましょう。上のように解析接続をすることには意味はありますが、次の式変形にはあまり意味はないです。その点ご注意ください。

まず、xの絶対値が1未満なら次が成り立ちますね。等比級数の和です。
1+x+x^2+… = 1/(1-x)

これをxの関数だと思って、両辺微分するとこうなります。
1+2x+3x^2+… = 1/(1-x)^2

上の式は、x=-1の時は成り立ちませんが、「無理やり」代入します。
1-2+3-4+5-… = 1/4

ここで左辺を「1+2+3+4+…」が無理やり出てくるように変形します。よくみると、偶数の箇所だけ符号が違うので、そこだけひけばいいですね。
1-2+3-4+…
= (1+2+3+4+…) -2×(2+4+6+…)
= (1+2+3+4+…) -4×(1+2+3+…)
= -3×(1+2+3+4+…)

これが上の式の右辺1/4に一致するので、1+2+3+4+…は-1/12と「無理やり」計算できます。しかし、何回も書きますが、数学的にはこの式変形は意味がないです。発散する式に値を代入しているからです。ただ、分かったつもりにはなるかもしれません。

ちなみに、「1+2+3+4+…=-1/12」の左辺は解析接続前の表現なので、こう書くのは乱暴なのですが、上の変な式変形からわかるとおり、まったくでたらめだというわけでもありません。この式に意味付けをする分野もあります。なぜ意味づけが可能かというと、この値の算出の背景に解析接続という複素解析の理論が使われているからだと思います。間違っても、「上の式変形が成り立つから」とは思わないでください。


質問(b)について、上で書いた複素解析の分野は、他にもおもしろい数式が出てくるので楽しいと思います。数式をポンと出せるほど、結果を覚えているわけではないのですが、「複素積分 実積分への応用」などで検索してみてはどうでしょうか。実数関数の積分なのに、一度複素数の世界で考えると解けるというのは、とても不思議な感じがしますし、上の話題とも少しは関連しているのでおもしろいと思います。

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id:nakaken88888888

自分のブログにぐだぐだコメントつけたエントリー書きました http://nakaken88.com/2014/12/08/080818

2014/12/08 09:43:26
id:lionfan2

ありがとうございます!! 今日も帰宅途中、スマホで読んでました!!

2014/12/12 00:02:06

その他の回答(1件)

id:lionfan2

質問文を編集しました。詳細はこちら

id:MIYADO No.1

みやど回答回数358ベストアンサー獲得回数752014/11/25 07:24:58

ポイント100pt

(a) [6]です。これは「無限和」が通常の意味ではありません。「足す」を無限和の意味に解釈すれば[1]です。

高校では無限和は部分和の極限として定義され、それ以外にはありません。その意味では∞(あるいは+∞と明記)です。高校でそれ以外の答えをしたら間違いになります。大学でも「普通は」その意味ですが、別の意味の無限和も定義すればあります。-1/12というのは正に別な意味です。


(b) もっと簡単で代表的な例として、

1-1+1-1+…

は通常の意味では定まりません(振動)が、別な意味では、例えば第n項までの部分和をSnとして(S1+…+Sn)/nの極限と定義するならば1/2です。


> 三浦俊彦の本で、バナッハ・タルスキーの定理が成り立つのは、球を「分割する」の意味が通常と違うからだが、

実際の物体を分割するわけではありません。実際の物体は素粒子からできています。

> それはたとえば自然数 2 を、 1+√2, 1-√2 と無理数に分割できるようなものだ・・・といった説明があり、えらく「わかった」気分になりました。そのような説明だったら最高ですね!!

そんなことより更に強引です。それは「具体的な」分割方法は数学的にすら示せません。

id:lionfan2

みやど様、了解です。ありがとうございます。

ちなみに、三浦俊彦の本ではご指摘の部分は説明されていたかと思います。
ですので、彼の本には責任は無いです。
いま旅先で、記憶で乱暴な要約をしてしまい、申し訳ございません。

彼の本で、バナッハ・タルスキーの定理は、球の 移動・回転・分割 のどこに
この定理が不思議さを生み出すのかの説明があり、「分割」にあると特定し、
読者が抱くであろう、具体的な分割方法を示せないことの不思議さを緩和するために、
筆者が困惑しつつも、例として挙げていた部分でした。

2014/11/25 08:20:38
id:lionfan2

いま原本にあたってみたら、「移動・回転・分割」は記憶違いだったので訂正です。
三浦俊彦「論理パラドクシカ」p.92の文章で、

「体積」という概念の修正
「寄せ集め」の概念の修正
「分割」の概念の修正

でした。また「自然数5を、5+√2と5-√2」に分割していました。(p.93)

2014/11/29 02:36:47
id:nakaken88888888 No.2

ナカケン88回答回数3ベストアンサー獲得回数12014/11/25 23:04:38ここでベストアンサー

ポイント250pt

まず質問(a)についてですが、[6]です。

ここの「1+2+3+4+…」は、普通の人が思っている「1+2+3+4+…」ではありません。そういう意味では、むりやり選択肢から選ぶと、[5]かもしれません。

以下、どういうことか説明したいと思います。


やっていることとしては、かなり乱暴に言うと、こういうことに似ています。例えば、1+x+x^2+x^3+…というのは、xの絶対値が1より小さい場合、1/(1-x)と一致します。ここにむりやりx=2として「1+2+4+8+…=-1」としているようなものです。

もちろん、これを本気で言うのはただのバカです(そもそもx=2のときには、上の和は1/(1-x)に収束しないからです)。しかし、これが複素解析という分野の話になると、少し事情が異なってきます。複素解析では、一部で定義した関数を拡張して考える、というのはとても自然な発想なんです。本題に入るまえに、ちょっと長いですが複素解析の話を簡単に書きます。


複素解析とは、複素数の関数に対して微分や積分を考える分野です。基本的には実数の関数のときと似ているのですが、複素関数の微分というのは、実数の関数の微分より条件が厳しいんです。

微分というのは、ざっくりいうと「xをちょっと動かしたときにf(x)がどれだけ動くか」という比率を表したものですが、実数の場合、直線なのでxの動かし方が大小2方向しかありません。しかし複素数の場合は平面なので、動かし方がたくさんあるんですよね。上下左右に加え、斜めもあるし、回転しながらもありえる。どんな動かし方をしても、収束値が1つにならないと微分可能とはいえません。なので、「実数の世界で微分可能」というのと「複素数の世界で微分可能」というのは、ぜんぜん厳しさが違うんです。

「複素数の世界で微分可能」という条件が厳しすぎるため、次のような不思議なことが成り立ってしまいます:「微分可能な2つの複素関数が、一部分で一致していたら、全体でも一致している(ざっくり表現)」。他にも不思議なことが成り立つのですが、このようにもはや「実数の世界の微分可能」とは全く違うため、「複素数の世界で微分可能」な関数には「正則関数」という新たな名前がついているくらいです。

上で書いた性質を知れば、一部分で定義されている正則関数をどんどん広げていきたくなります。もし広げられれば、そんな正則関数は1つしかないとわかっているので、どうせなら広くしたほうがいいですよね。数学の世界では、複素解析に限らず、どんどん広げて拡張する、というのはよくある話なんです。このように、正則な複素関数の定義域をどんどん広げていく手法を「解析接続」と言います。


ここでようやく本題に戻ってくるのですが、「1+2+3+4+…」を計算するときの手順を書いていきます。まず、この式を一般化した次の関数を考えます。

Σn^(-s) (nはすべての自然数を走る、sは任意の複素数)

これには「ゼータ関数」という名前がついていて、ζ(s)と表します。ちなみに、ζ(-1)というのが、「1+2+3+4+…」と一致しているわけですね(この時点では)。

このゼータ関数は、sの実部が1以下の場合は発散しますが、それ以外では収束します。そこで、その収束する部分に対しては収束値を計算し、次に上述の解析接続をするんですね。収束している領域では一致していて、かつ、正則な関数というのは1個しかないので、「発散している領域に対しては、その正則な関数で上書きする」ということです。

つまり、ζ(-1)はもともと発散していたんだけれども、解析接続によってζ(-1)が定義できるようになったんです(正則なまま拡張する、という条件で広げているので定義できるようになった)。複素解析の世界では、この新しい関数をゼータ関数だと思い直して扱うんです。もちろん、もともと発散していた領域に対しては、中身は違っているんですよね。

この新しいゼータ関数でのζ(-1)は、特殊な計算をすると-1/12と計算できるんですね。ただ、このζ(-1)を「1+2+3+4+…」と書いちゃうのは、厳密に言えば間違っているんです。解析接続した後は、式も変わっているはずだからです。

しかし、複素解析を学んだ人たちにとっては、解析接続をするのは自然なことだし、ゼータ関数が上のように解析接続して得られた関数であることも知っています。なので、「1+2+3+4+…=-1/12」と書いただけで、「あぁ、Σn^(-s)を解析接続してs=-1を入れた値が-1/12なんだな」とわかるんですね。

よって、上でも書いた通り、「1+2+3+4+…」は普通の人が思っている「1+2+3+4+…」ではない、が正解じゃないかな、と思います。

普通の人が、「1+2+3+4+…=-1/12」は変だ、というのはとても自然なことです。普通の式では成り立たないからです。しかし、数学やってる人が、「1+2+3+4+…=-1/12」は変だ、と言っても、「ゼータ関数も知らんとは」と言われて終わりです。


ちなみに、「無理やり」-1/12となる計算も書いておきましょう。上のように解析接続をすることには意味はありますが、次の式変形にはあまり意味はないです。その点ご注意ください。

まず、xの絶対値が1未満なら次が成り立ちますね。等比級数の和です。
1+x+x^2+… = 1/(1-x)

これをxの関数だと思って、両辺微分するとこうなります。
1+2x+3x^2+… = 1/(1-x)^2

上の式は、x=-1の時は成り立ちませんが、「無理やり」代入します。
1-2+3-4+5-… = 1/4

ここで左辺を「1+2+3+4+…」が無理やり出てくるように変形します。よくみると、偶数の箇所だけ符号が違うので、そこだけひけばいいですね。
1-2+3-4+…
= (1+2+3+4+…) -2×(2+4+6+…)
= (1+2+3+4+…) -4×(1+2+3+…)
= -3×(1+2+3+4+…)

これが上の式の右辺1/4に一致するので、1+2+3+4+…は-1/12と「無理やり」計算できます。しかし、何回も書きますが、数学的にはこの式変形は意味がないです。発散する式に値を代入しているからです。ただ、分かったつもりにはなるかもしれません。

ちなみに、「1+2+3+4+…=-1/12」の左辺は解析接続前の表現なので、こう書くのは乱暴なのですが、上の変な式変形からわかるとおり、まったくでたらめだというわけでもありません。この式に意味付けをする分野もあります。なぜ意味づけが可能かというと、この値の算出の背景に解析接続という複素解析の理論が使われているからだと思います。間違っても、「上の式変形が成り立つから」とは思わないでください。


質問(b)について、上で書いた複素解析の分野は、他にもおもしろい数式が出てくるので楽しいと思います。数式をポンと出せるほど、結果を覚えているわけではないのですが、「複素積分 実積分への応用」などで検索してみてはどうでしょうか。実数関数の積分なのに、一度複素数の世界で考えると解けるというのは、とても不思議な感じがしますし、上の話題とも少しは関連しているのでおもしろいと思います。

他1件のコメントを見る
id:nakaken88888888

自分のブログにぐだぐだコメントつけたエントリー書きました http://nakaken88.com/2014/12/08/080818

2014/12/08 09:43:26
id:lionfan2

ありがとうございます!! 今日も帰宅途中、スマホで読んでました!!

2014/12/12 00:02:06
id:lionfan2

その後、こんなページを見かけました。これも良い解説だと思います。
http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/ZetaAnalyticContinuation/index.html

  • id:jislotz
    私は大学で落ちこぼれた人間で回答するには分不相応だし、
    自分が思うことを(a)とか(b)とかに分けて書くのが面倒なのでコメント書きます。

    wikipediaのそのページのラマヌジャンの説明は、分かりにくい。

    http://www.geocities.jp/x_seek/zeta.html
    の、F = "1−1+1−1+ · · · "から始まる部分の説明だと、分かりやすいと思った。
    −3S = 1/4で、S = −1/12というところまでは。

    でも、その次のステップに論理の飛躍を感じます。
    1,2,3,……のように増えていくように見えている数は、
    実はサインカーブのごくごく最初の方だけを見ているから
    そういう風に増えているように見えるのであって、
    スケールをものすごく大きくすると、その先はサインカーブが減衰している。
    っていう考え方を導入して説明している部分。

    高校物理の計算なんかでよく、
    sinxのxが十分に0に近いときに、sinx≒xの近似式を使って答えを出しますが、
    減衰していくサインカーブの0付近でも同じ近似式は成り立つので、
    近似できる部分の先を考えると……?と思うと、上記の考え方の導入に納得がいきました。
  • id:jislotz
    http://www.geocities.jp/x_seek/zeta.html
    をよく見たらべつにサインカーブだとは一言も書いてなかった。
    でもグラフの画像見たらサインカーブだと勘違いしてました。ごめんなさい。
  • id:MIYADO
    > でも、その次のステップに論理の飛躍を感じます。

    確かにサインカーブは早とちりですが、論理の飛躍のように見える事柄には、ある知識を暗黙の前提として用いています。「複素関数として微分可能な関数は『枝分かれ』しない」ということです。

    どういうことかというと、実関数であれば、例えば

    f(x)=0

    g(x)=0 (x<0), x^2 (x≧0)

    の2つの関数を考えると、これらは微分可能であり、グラフを重ねて書くと、「枝分かれ」するように見えます。しかし、複素関数として微分可能な関数ではそういうことは起きないことが知られています。ですから、ある小さな範囲で定義された関数を「外に延ばす」ということが考えられるのです。
  • id:taknt
    わかったを百回言ってみる。
    それで わかったつもりにならなかったら
    さらに 千回言ってみる。
    それでもダメなら 万回言ってみる。

    これぐらい言えば わかったつもりになれるだろう。

    というか 私は それは 間違ってると思うことで 終わらせておく(笑)
  • id:suga-kun
    これ今思ったけど細かいことは省くけど

    ζ(-1)=Π(p=prime)(1/(1ーp))

    右辺の分母はかならず負、よって右辺の各項は負、負を自然数回かけると負(ー1/12)になるパターンなんだ。(自然数の最後なんてないが"自然数の最後は奇数"といえる)

    おそらく0/0的な収束と一緒で負を自然数濃度回かけると負にもゼロにも正にもなりうる。そして1+2+3+...式からζ関数の式を経由してオイラー積でΠ(p=prime)(1/(1ーp))へ行くのは複素解析を使ってない収束のインチキのようなものを使ってない。ある意味正を足し続けて負になるというのは複素解析を使わなくても成り立つ自然なことなんでしょう。
    (訂正:発散する式をオイラー積で変形しているので複素解析を使ってないとはいえないのでしょう。この時点で解析接続している。よく考えると間違ってたのでコメは削除し訂正しました。)

    複素解析は複素数界それ自体も面白いが実数界だけでは分からないことも教えてくれる不思議な世界だと思う。こういうところが数学の素晴らしさだと思う。
  • id:nakaken88888888
    suga-kunさん
    オイラー積のところは、ご自身でも指摘されていますが、確かにあやしいですね。他人のページで申し訳ないですが、下のページが参考になります。
    http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/03/30/172641

    ここの「途中式」と書かれた部分まではまだいいとして、そこから「完成版」となっている式へ変形するときに、等比級数の和の公式を使っています。しかし、ζ(1)の時は収束しないのでこの式変形はこのままでは意味がありません。結果的に、僕の回答の中に出てくる「やっていることとしては~」の部分と同じようなことをしていることになってしまいますね。

    複素解析の面白さのところに関しては、僕も同意します。実積分への応用は特に不思議ですよね。
  • id:suga-kun
    ナカケン88さん、紹介していただいたページではオイラー積のところで等比級数の式を使っていますが、使わない方法もあります。

    ζ(s)=1/1^s + 1/2^s + 1/3^s +....
    1/2^s倍して
    1/2^s ζ(s)=1/2^s + 1/4^s + 1/6^s +....
    これをζ(s)から引いて
    (1- 1/2^s)ζ(s)=1/1/^s + 1/3^s + 1/5^s +…

    すべての素数でこれをやっていくことで右辺は1/1^sつまり1だけ残り

    ...(1- 1/5^s)(1- 1/3^s)(1- 1/2^s)ζ(s)=1
    ζ(s)=(1/(1- 2^s))=(1/(1- 3^s))=(1/(1-/ 5^s))…

    よってΣ1/n^s=Π(1/(1- p^s))

    そのページのやつはちょっと難しいやり方な気がします。
    ただ、左辺はsが1以下のとき(でしたっけ?)発散しますが右辺はsが1以下でもいい。イコールで結ばれていますけど定義域が違うという意味でイコールじゃないですね。それを同じとみなそうという数学の同型的な考え使ってるのが解析接続ですから、解析接続においてはイコールなんでしょうが。

    つまりは厳密には左から右へはイコールとして使えても右から左へは無理ですね。右辺の定義域が左辺の定義域を含んでいるので。その意味で
    Σ1/n^s⇒Π(1/(1- p^s))と表したほうがいい気もします。
    そしてここで問題になってるΣnはその意味でζ関数を経由する必要はないといいますか。
    で、僕が書いたオイラー積で複素解析を使うというのはオイラー積の右辺から左辺は複素解析を使うということですね。左辺から右辺は複素解析というか等比級数を使う必要はないですね。

    間違ってるかもしれませんが、レスしていただきありがとうございます。

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