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次の証明のどこがおかしいのかの説明をお願いします。



「『全ての馬は同じ色である』ことを次のように数学的帰納法で証明した人がいます:「まず馬が1頭の時は馬の色が1色なのは当たり前。次にk頭の馬の列はすべてが同じ色であると仮定する。このとき、(k+1)頭の馬の列を考える。まず先頭からk頭を見ると仮定よりこれらは同じ色の馬である。

また最後尾からk頭を見ると、仮定よりやはりこれらは同じ色の馬である。途中の2頭目から(k-1)頭は重なっているから、結局これら(k+1)頭の馬たちは皆同じ色ということになる。以上より、どんな数の馬がいてもそれらは同じ色であることが証明された。」




回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2014/12/14 20:10:55
  • 終了:2014/12/21 20:15:03

ベストアンサー

匿名回答1号 No.1

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2014/12/14 20:21:59

これだと
k=1で成立⇒k=2で成立
が示されていません。

匿名回答1号

後の回答者たちは数学的帰納法をきちんと分かっていないので、詳しく説明します。

P(n)を「馬がn頭いれば、これら同じ色である」とする。
「全てのnについてP(n)」を示せば「馬が何頭いようともこれらは同じ色である」ことが示されたことになる。
それを数学的帰納法で示そう。
n=iなら1頭だから1色は明らか。
n=kで成り立つと仮定する。すなわち「馬がk頭いれば、これら同じ色である」(これを「帰納法の仮定」と呼ぶ)とする。
n=k+1のときを示そう。(k+1)頭の馬を並べてると最初(1番目)からk番目までのk頭を考えると、これらは帰納法の仮定より同一色である。仮にA色と呼ぶことにする。次の2番目から最後[(k+1)番目]までのk頭を考えると、これらも帰納法の仮定より同一色である。仮にB色と呼ぶことにする。すると、2番目からk番目までの(k-1)頭はA色でもB色でもあるから、結局A=Bであり、これらの(k+1)頭の馬は同一色であり、n=k+1のときも示された。
以上により、示された。

ということですが、これのどこがおかしいのかということです。

答えは、k=1とすると、「最初(1番目)からk番目までのk頭」は最初の1頭のみでA色、「2番目から最後[(k+1)番目]までのk頭」は最後の1頭のみでB色、「2番目からk番目までの(k-1)頭」は存在しないのでA=Bが言えない、ということです。

2014/12/15 11:46:48

その他の回答(3件)

匿名回答1号 No.1

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2014/12/14 20:21:59ここでベストアンサー

これだと
k=1で成立⇒k=2で成立
が示されていません。

匿名回答1号

後の回答者たちは数学的帰納法をきちんと分かっていないので、詳しく説明します。

P(n)を「馬がn頭いれば、これら同じ色である」とする。
「全てのnについてP(n)」を示せば「馬が何頭いようともこれらは同じ色である」ことが示されたことになる。
それを数学的帰納法で示そう。
n=iなら1頭だから1色は明らか。
n=kで成り立つと仮定する。すなわち「馬がk頭いれば、これら同じ色である」(これを「帰納法の仮定」と呼ぶ)とする。
n=k+1のときを示そう。(k+1)頭の馬を並べてると最初(1番目)からk番目までのk頭を考えると、これらは帰納法の仮定より同一色である。仮にA色と呼ぶことにする。次の2番目から最後[(k+1)番目]までのk頭を考えると、これらも帰納法の仮定より同一色である。仮にB色と呼ぶことにする。すると、2番目からk番目までの(k-1)頭はA色でもB色でもあるから、結局A=Bであり、これらの(k+1)頭の馬は同一色であり、n=k+1のときも示された。
以上により、示された。

ということですが、これのどこがおかしいのかということです。

答えは、k=1とすると、「最初(1番目)からk番目までのk頭」は最初の1頭のみでA色、「2番目から最後[(k+1)番目]までのk頭」は最後の1頭のみでB色、「2番目からk番目までの(k-1)頭」は存在しないのでA=Bが言えない、ということです。

2014/12/15 11:46:48
匿名回答2号 No.2

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2014/12/14 20:22:48

次にk頭の馬の列はすべてが同じ色であると仮定する。 
部分がおかしいです。馬は列にならんだとたん色がかわるものではないので。
さらにいうとK=1であるとき馬は列をなせない。
 
とおもったけど↑↓の一号さんのいうとおり前提がアレだから特にそこは関係なかった。

匿名回答1号

そこは数学的帰納法の仮定だからおかしくありません。

2014/12/14 20:25:49
匿名回答3号 No.3

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2014/12/14 20:40:45

> また最後尾からk頭を見ると、仮定よりやはりこれらは同じ色の馬である。

おかしいのはここ。
実際に数字を当てはめればわかるけど、
仮にkを10として、10頭目までは同じ色の馬を揃えたわけですよね。

> まず先頭からk頭を見ると仮定よりこれらは同じ色の馬である。

とは1頭目から10頭目までの事なので問題なし。ところが、

> 最後尾からk頭

とは11頭目から2頭目の事になるので、
前提条件として考慮されていない11(k+1)頭目が含まれます。
つまり同じ色である事がわかっている1頭目があぶれ、
代わりに色の判別していない11頭目が加えられてしまった。
したがってここに仮定を当てはめる事が間違い。

匿名回答3号

> 途中の2頭目から(k-1)頭は重なっているから、結局これら(k+1)頭の馬たちは皆同じ色ということになる。

いや、むしろおかしいのはこっちか。何が「結局」なのかの説明が飛んでいる。

2014/12/14 20:44:16
匿名回答4号 No.4

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2014/12/14 21:50:43

考察のためk=2の仮定を追加します。

馬 :1つの色

馬馬 :kの馬が同色であると仮定


馬馬ウ : k+1の馬

※但し、どの位置にどの色の馬が+1されるかは明示されていないので

[馬馬]ウ :k+1の馬のうち前からkは仮定により同色
馬[馬ウ] :k+1の馬のうち後ろからkは仮定により同色

[ウ馬]馬 :k+1の馬のうち前からkは仮定により同色
ウ[馬馬] :k+1の馬のうち後ろからkは仮定により同色

[馬ウ]馬 :k+1の馬のうち前からkは仮定により同色
馬[ウ馬] :k+1の馬のうち後ろからkは仮定により同色

ウ:追加された馬

以上のケースが考えられるので
「最初の仮定が成立するには同時に+1される馬(ウ)がk頭の馬と同色で
あるという追加の仮定が必要」

なのにそれが提示されていないというのが本証明の不備


もしも「kの馬が同色であると仮定」が絶対的に保障される状況であるならば、
同時に「仮定が成立するには同時に+1される馬(ウ)がkの馬と同色で
あるという追加の仮定」が暗黙のうちに保障されるので、証明は成立します。
つまりその世界の馬は最初から1色だったのさ!

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