【頑張れ受験生】 数学の整数問題です。存在する場合は具体例を挙げ,存在しない場合は証明を与えて下さい。


(問1)ゾロ目の平方数は存在するか?

(問2)ゾロ目の素数は,11以外に存在するか?

※ただしゾロ目とは,10進数で表記した際に,
全ての桁が同じ数であるような2ケタ以上の自然数を言う。
また平方数とは,ある自然数の2乗であるような数のことを言う。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2015/01/31 22:47:01
  • 終了:2015/02/07 22:50:05

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4380ベストアンサー獲得回数3982015/02/03 22:06:22

 ぞろ目の数の一般項は、m=1~9、n≧2の整数として、次式で表すことが出来る。
 m¥times¥frac{10^n-1}{9}…(1)
(問1)
 100を法として、平方数の合同数は、以下の通り。
1,4,9,16,25,36,49,64,81,0,21,44,69,96,25,56,89,24,61,0,41,84,29,76,25,
76,29,84,4,1,0,61,24,89,56,25,96,69,44,21,0,81,64,49,36,25,16,9,4,1,0,…(循環)…
 よって、44以外の、11~99と合同な平方数は存在しない。
 また、44(m=4)のときも、(1)式から
 4¥times¥frac{10^n-1}{9}=2^2¥times¥frac{10^n-1}{9}
となって、結局、m=1の場合(レピュニット)に帰着されて存在しない。(^_^;

(問2)
 (1)式から、m=1以外のときは約数をもつので駄目。よって、題意のゾロ目は、レピュニットになるはず。
 下記URLによると、n=19,23,317,1031,…らしい。(^_^;
●レピュニット
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%88

id:language_and_engineering

参考文献URL付で回答してくださり,ありがとうございます。

有用な情報を提供してくださったので,感謝の気持ちで,さきほど50ポイント送信しました。

問1ですが,根気強く循環を見つけ出す作業はとても大変だったと思います。
循環を見つけ出す部分は,どうやらもっとスマートに論述できるようです。
何かもっと小さい,できれば1ケタの数を法とした剰余で,平方数を分類し
ゾロ目になれないことを示せるようです。

2015/02/04 13:21:36
id:rsc96074

 ありがとうございます。m(_ _)m
 a≧0,0≦b≦9の整数とすると、
 (10a+b)^2 Mod 100=(100a^2+20ab+b^2) Mod 100=(20ab+b^2) Mod 100
ここで、a=5n+c(n≧0, 0≦c≦4の整数)とおくと、
(20ab+b^2) Mod 100={20(5n+c)b+b^2} Mod 100=(100n+20bc+b^2) Mod 100=(20bc+b^2) Mod 100
となり、0≦b≦9,0≦c≦4の整数だから、50個位で循環するようです。
 受験生じゃないから、Pythonで計算したので楽でしたが、まぁ、確かに受験生だと50個も計算するのは大変でしょうね。(^_^;

2015/02/04 17:03:24
  • id:language_and_engineering
    No1の回答者の方に,感謝の気持ちで50ポイント送信しました。
    問2は未解決問題なので,「頑張れ受験生」という出題のしかたはまずかったですね。。。

    ぞろ目の整数の問題は,難関大の入試で繰り返し出題されるテーマで
    良い題材だと思ったのですが。


    問2を下記のように改題すれば
    かなり易しめのレベルに改変できるようです。


    (問2改題)
    ゾロ目の素数が存在すれば,その桁数は素数であることを示せ。



  • id:NAPORIN
    筆頭に「受験生」とあったのでぐぐったものを貼るのを遠慮しましたが。
    http://h.hatena.ne.jp/NAPORIN/81798455214137714 
  • id:NAPORIN
    そしてtea_cupさんもコメントかいてらしたんですけどね
  • id:language_and_engineering
    なぽりんさん,こんにちは。
    大御所からコメントを賜り嬉しい限りです。
    こんど問題を思いついたら「受験生以外も歓迎」というタイトルにしますね。
    (今回の問題はお風呂の中で思いつきました)

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