数学の問題について

以下のような問題の答えがどうしても合いません。
どこが間違っているかご指摘お願いいたします。

(問題にtex形式が使えなかったので追記にかいておきます)
(解答の日本語が伝わりにくいかもしれません…)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2015/04/12 02:37:57
  • 終了:2015/04/12 09:28:31
id:Tomoya530

質問者から

UTX2015/04/12 10:50:47

【問題】
P_{n}の座標¥left( x_{n},y_{n}¥right) P_{n+1}の座標¥left( x_{n+1},y_{n+1}¥right)との間に次の関係がある。
x_{n+1}=¥frac{2}{3} x_{n}+¥frac{1}{3} y_{n}¥cdots (1), y_{n+1}=¥frac{1}{2} x_{n}+¥frac{1}{2} y_{n}¥cdots (2)
nが限りなく大きくなるとき点P_{n}の近づく座標をx0,y0で表せ

【私の解答】
(2)より
x_{n}=2y_{n+1}- y_{n}, x_{n+1}=2y_{n+2}- y_{n+1}より、(1)の式
3x_{n+1}=2x_{n}+y_{n}
に代入し、
6y_{n+2}=7y_{n+1}-y_{n}
y_{n+2}-y_{n+1}=¥frac{1}{6} ¥left( y_{n+1}-y_{n}¥right)
従って
y_{n+1}-y_{n}=¥frac{1}{6} ¥left( y_{n}-y_{n-1}¥right)



y_{n+1}-y_{n}=¥left( ¥frac{1}{6} ¥right) ^{n}¥left( y_{1}-y_{0}¥right)
ここで、
y_{1}=¥frac{x_{0}}{2} +¥frac{y_{0}}{2} なので
y_{n+1}-y_{n}=(¥frac{x_{0}}{2} -¥frac{y_{0}}{2} )¥left( ¥frac{1}{6} ¥right) ^{n}
よってzn=yn+1 - yn とすると、
y_{n}=y_{0}+¥sum ¥limits^{n}_{k=1}z_{n}
計算し、
y_{n}=y_{0}+¥frac{1}{5}¥frac{x_{0}-y_{0}}{2} ¥left( 1-¥left( ¥frac{1}{6} ¥right) ^{n}¥right)
これをx_{n}=2y_{n+1}- y_{n}に代入し、
x_{n}=2y_{0}+¥frac{2}{5} ¥frac{x_{0}-y_{0}}{2} ¥left( 1-¥left( ¥frac{1}{6} ¥right) ^{n+1}¥right) -y_{0}+¥frac{1}{5} ¥frac{x_{0}-y_{0}}{2} ¥left( 1-¥left( ¥frac{1}{6} ¥right) ^{n}¥right)
従ってn→∞のとき
x_{n}¥to ¥frac{x_{0}+9y_{0}}{2} , y_{n}¥to ¥frac{x_{0}+9y_{0}}{2}

¥left( ¥frac{x_{0}+9y_{0}}{2} , ¥frac{x_{0}+9y_{0}}{2} ¥right)

【解答】
¥left( ¥frac{3x_{0}+2y_{0}}{5} , ¥frac{3x_{0}+2y_{0}}{5} ¥right)

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4392ベストアンサー獲得回数4022015/04/12 08:10:52

 y_nが間違ってます。(^_^;
 3項間の漸化式を導いたとこまではあっているので、
 y_n=A+B ¥frac{1}{6^n}とおいて、
 y_0=A+B
 y_1=A+¥frac{1}{6} B
から、係数A,Bを求めてみましょう。
 ちなみに、特性方程式の解をα,βとすると、
y_n=¥frac{¥left(y_1-¥alpha y_0¥right)¥beta^n-¥left(y_1-¥beta y_0¥right)¥alpha^n}{¥beta-¥alpha

id:Tomoya530

御回答ありがとうございます
上の方針を使ってみたところ見事に答えが合いました!

2015/04/12 09:26:09

その他の回答(1件)

id:tea_cup No.1

tea_cup回答回数1007ベストアンサー獲得回数1782015/04/12 04:53:57

Xnを求めるところで1/5がなくなっているのが変では?

id:Tomoya530

御回答ありがとうございます

2015/04/12 09:24:15
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4392ベストアンサー獲得回数4022015/04/12 08:10:52ここでベストアンサー

 y_nが間違ってます。(^_^;
 3項間の漸化式を導いたとこまではあっているので、
 y_n=A+B ¥frac{1}{6^n}とおいて、
 y_0=A+B
 y_1=A+¥frac{1}{6} B
から、係数A,Bを求めてみましょう。
 ちなみに、特性方程式の解をα,βとすると、
y_n=¥frac{¥left(y_1-¥alpha y_0¥right)¥beta^n-¥left(y_1-¥beta y_0¥right)¥alpha^n}{¥beta-¥alpha

id:Tomoya530

御回答ありがとうございます
上の方針を使ってみたところ見事に答えが合いました!

2015/04/12 09:26:09

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