背理法を用いた証明について質問です。

お力添え頂ければと思います。

Question.
a,bを整数とする。a^2+b^2が3で割り切れるならば、a,bはともに3で割切れることを、背理法を用いて証明せよ。

証明なんですが、まず初めに整数a,bを他の文字、例えばm,nを用いて3の倍数で表しますよね。
(1)a=3m,b=3n(m,nは整数)
これと3の倍数ではない場合という条件を提示します。
(2)a=3m, b=3n±1
(3)a=3m±1,b=3n
(4)a=3m±1,b=3n±1

ここで質問なんですが、整数a,bの場合としてなぜ(2)、(3)、(4)が適当なんでしょうか?
また、この条件を表す時に、仮に±3では3の倍数ですので、比較対象の(1)に対して意味をなさないと思うのですが、それでは±2などではだめなんでしょうか?

どうかご教示よろしくお願いします:)

回答の条件
  • 1人10回まで
  • 登録:2015/06/06 12:49:07
  • 終了:2015/06/13 12:50:04

回答(2件)

id:MIYADO No.1

みやど回答回数366ベストアンサー獲得回数762015/06/06 13:24:05

> ここで質問なんですが、整数a,bの場合としてなぜ(2)、(3)、(4)が適当なんでしょうか?
そう「しなければいけない」わけではありません。そうしておくと計算が簡単で、場合分けが余り繁雑にならずに済むだけです。ただし(4)は複号同順でなく複号自由であることに注意を要します。

±2でも別にかまいませんが、計算が面倒になります。

id:jan8 No.2

jan8回答回数455ベストアンサー獲得回数962015/06/06 13:40:35

「a,bはともに3で割切れる」事を下の数式で表したのですから、

(1)a=3m,b=3n(m,nは整数)(aは3で割切れる。bは3で割切れる。)

「a,bはともに3で割切れる」を満足しない場合を網羅するには

(2)a=3m, b=3n±1  (aは3で割切れる。bは3で割切れない。)
(3)a=3m±1,b=3n  (aは3で割切れない。bは3で割切れる。)
(4)a=3m±1,b=3n±1(aは3で割切れない。bは3で割切れない。)

と表すのが適当です。

網羅性を高めるには3m+1、3m-1、3m+2、3m-2、3n+1、3n-1、3n+2、3n-2を検討すべきですが、「3で割切れるか否か」は自明なので、全て網羅する必要はないのでは?と思います。

id:MIYADO

> 網羅性を高めるには3m+1、3m-1、3m+2、3m-2、3n+1、3n-1、3n+2、3n-2を検討すべきですが、「3で割切れるか否か」は自明なので、全て網羅する必要はないのでは?と思います。

例えば3m+2はM=m+1とおくと3M-1と書けます。ですから3m-1と3m+2を重複させる必要はありません。そういうことです。

重複はあって間違いではありませんが、漏れがあってはいけません。

2015/06/06 13:59:00
id:jan8

あ、そうか!
すいません。

2015/06/06 14:01:15

コメントはまだありません

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません