微分に関する質問です。

f(1)≠0は大前提だと思います。

この場合f(x)がx=1で微分可能なので連続、よってこの近くで0でなく符号一定でf(x)/f(1)>0となりlogを取れる。
g(x)= log |f(x)|もx=1の近くで定義できてg'(x)=f'(x)/f(x)

以上を用いて
lim [x->1] {1/(x-1)} log{f(x)/f(1)}
= lim [x->1] {1/(x-1)} log|f(x)/f(1)|
=lim [x->1] {g(x)-g(1)}/(x-1)
=g'(1)
=f'(1)/f(1)