http://q.hatena.ne.jp/1458831516


πが無理数だというのを、数学に詳しくない人でもわかるように説明してくれ。頼む。

※数学としては算数レヴェル希望。文系でもわかる説明は高度でも可。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2016/03/25 02:26:25
  • 終了:2016/04/01 02:30:03

回答(2件)

id:NAPORIN No.1

なぽりん回答回数4491ベストアンサー獲得回数8312016/03/25 08:58:51

ポイント50pt

※口調を中学生(想定)向けにしています。鼻についたらすみません。

まってまって~、それは君が本当に聞きたいこととは違うよ。永遠に続く小数のことを全部無理数っていうんじゃないよ。

無限小数で0.33333…ってあるけどこれ「1/3」って分数で書けるね。永遠に続くけど、永遠に続く小数のうち、分数でかけるものは「有利数」、そうでないものは無理数なんだ。(たしか中学の後半で習うよね)
 
きみはπが無理数であることを証明してほしいんじゃなくて、それ以前の段階で、永遠に続く小数であるってことを証明してほしいんだよね。
でもね、じゃあ、0.333333…だって納得いかないだろ。1を3で割ったら、どこかで突然、細かすぎて余りがなくなって、割り切れるかもしれないじゃないか。これにどう反論する? 
たぶん同じ計算が続くから予測できるんだ、っていうんだろうね。1に0をつけて3でわって3あまり1、またその余った1にゼロをつけて…。全く同じことの繰り返しだから簡単に予測できるな。
 
きみが反論したのと同じというか、もうちょっと詳しいやりかたで、円周率は割り切れないことが「予測」されてるんだ。その予測は事実だと検証されたので証明ともいう。
でもそれには大学で習う数学をつかわなきゃだめだね。ルート2が無限につづく小数である(どこかの桁で割り切れない)ことも高校までの数学では証明できないんだから。(中学で有理数・無理数という言葉をつかいつつ事実として習いはするけれど)

こっちなら大学入試くらいの数学をやっている人ならわかりやすいとおもう。
円周率が22/7より小さいことの証明 - Wikipedia
最後のほうに、πを分数と比較しながら求めるための一般式がでてくる。
「有理数だが無限小数である分数」をいくつも足しあわせて、「π」により近づいた形のものを表現しようとしているんだね。この式の「n」の部分を4の倍数で4,8、12、16…とすすめていけば手持ちのコマは無限にπというゴールにちかづいていくのらしい。
ここで、やってるのは、割り算と割り算の引き算。つまり無限小数と無限小数の引き算。その結果も、無限小数になる。じゃあ、どうにかちかづけようとがんばっているゴールであるπも無限小数なんだろうという直感がしてくるんじゃないかな。数学的には全然意味のない仮定だけどね。
(数学者だと逆に、いかに無限小数どうしといえど、πという無理数を有理数で完全に表現することは不可能という証明が存在する、なんならその証明を自分が作るためにガンバルゾ、という言い方をするとおもう。ややこしい連中だ。そもそもどれだけ「ゴール」の形をしりたかったか、有限小数か無限小数の合間かがぼんやりしていかに不愉快だったかについてはいっしょに考えてはくれないんだ。ところで足し算でどんな形にもするってのはフーリエ変換みたいな話だけどこっちはこっちでまたややこしいからほうっておこう…)
 
 
√5が無限小数であることを証明するための参考資料はないか。 | レファレンス協同データベース←最終的には「中学教科書に書いてあるから」という解答…。でももう一つの本はおもしろそう。
 

他14件のコメントを見る
id:grankoyan2

とりあえず、√2が無理数の4つの照明の内、上の二つはなんとなく理解できました。ためになります。

2016/03/25 13:04:02
id:tazikisai-mukou

つまらん指摘です。内容記述に関係ない
分数でかけるものは「有利数」、
、√2が無理数の4つの照明の内、

すみません、私も誤変換は得意です。

2016/03/27 19:46:34
id:a-kuma3 No.2

a-kuma3回答回数4325ベストアンサー獲得回数17732016/03/25 17:28:16

ポイント50pt

要は出てきた式を片っ端から理解してけってことになるんですかね。わかんなかったら調べて理解していく。
数式を理解せずとも、”どういう意味合いで作られた、生まれた式なのか”がわかれば数学知らなくても理解たりしないかなとか思ったのは甘かったですかね。

それぞれの式をどうやって変形したりするかは理解できなくても、変形したりする方法があるんだ、という理解ができれば、納得はできるんじゃないかな、と思います。

円周率が無理数だってことを証明する方法はいくつもあるのですが、具体的にブツを見た方が話が先に進むと思うので、ググってみました。
ざっと検索した中で、式が追いやすい雰囲気で、前提と結果が矛盾しているというのが分かりやすいのがここかな、って思った。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node25.html
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node26.html#k029

「ニーベンの証明」とか言うらしい。
積分だ級数だとかってでてきますけど、自分で解かなきゃいけないわけじゃないので、次にいけるんだ、くらいで良いのかな、と。
流し読みした感じでは、ぼくは小問2 の冒頭が説明できない 最後のところが、もごもごって感じかな (´・ω・`)


これをオブラート一枚包むと、一挙にここまでうすらぼんやりとします。

  1. ある式、I_n を考えます
  2. ¥pi を有理数と前提に置くと、n をそれなりに大きくすると、I_n の範囲は 0 < I_n < 1 になります
  3. また、同じ条件で別の計算をすると I_n は整数になる、という計算ができます
  4. 2 と 3 は矛盾する内容なので、¥pi が有理数だという前提が間違っているということが分かります



あと、「どういう意味合いで作られた、生まれた式なのか”がわかれば」というコメントがありましたが、円周率が無理数であることを証明するために編み出した式だと思います。
図形問題の補助線のように、「どうして、そこに線を引かなきゃいけないんだ」みたいな道具。

他1件のコメントを見る
id:grankoyan2

ある式Inでなえました。Iってなんやねん。nって何? で。
SEだったのでf(x)とかなら、まだ馴染があるんですけど、Iってなんなんでしょう?
そこがクリアになったら、次は、2の「πを有理数と前提に置くと、n をそれなりに大きくすると、I_n の範囲は 0 < I_n < 1 になります」で?が一杯になります。
その辺がクリアになればなんとなくわかりそうな説明ではあります。

2016/03/26 03:52:33
id:a-kuma3

ある式Inでなえました。Iってなんやねん。nって何? で。
SEだったのでf(x)とかなら、まだ馴染があるんですけど、Iってなんなんでしょう?

I は、インテグラル(積分)のアイかな。
関数を function の f を取って、f(x) ってやるのと、同じノリです。
ふたつ関数が欲しいと、f の次で、g(x) を使ったりしますが、その程度の記号。

n も、連続値ではなくて、整数が入るよ、という意味の n 。

ニーベンの証明だと、Wikipedia を含め、こっちの書き方をしてるところが多い気がします。
円周率の無理性の証明 - Wikipedia

こっちだと、F(n) って書き方をしてます。
ある関数 f(x) を積分したのを F(x) と大文字で書く習慣があるので、そういう書き方をしてるんでしょう。
証明の流れとしては、わけの分からない F(x) も持ち出した後に、F(x) の特定の値がある積分と同じになることを、って回答に書いたところとは逆になってますが。

「取り出だしたる、何の変哲もない I_n という数列。
タネも仕掛けもございません。
変哲もないと言うには、少々、込み入った式ではございますが、私が考案したこの数列を使うと、あら不思議。
円周率が無理数だという証明ができてしまうのでございます。
これからお話し致しますのは、その証明に至るまでの顛末でございます。
しばしの間、お付き合いしていただければと存じます」

って感じ。

そこがクリアになったら、次は、2の「πを有理数と前提に置くと、n をそれなりに大きくすると、I_n の範囲は 0 < I_n < 1 になります」で?が一杯になります。

I_n は数列の一般項。n には 1, 2, 3, ... と入ります。

計算してみますか。
計算には、WolframAlpha を使います。
n = 1 のとき(I_1)は、こうです。
integrate 1/1! x^1 (22 -7x)^1 sin x from 0 to pi - Wolfram|Alpha

既に 1 を超えてます :-)
並べてみますか。

  • I_1 = 28.028
  • I_2 = 209.17
  • I_3 = 1076.3
  • I_4 = 4242.14
  • I_5 = 13570
  • I_6 = 36554
  • I_7 = 85079
  • I_8 = 174359
  • I_9 = 319241
  • I_{10} = 528266
  • I_{11} = 797477
  • I_{12} = 1106859

おやおや、増える一方。でも、安心してください。

  • I_{19} = 1640384
  • I_{20} = 1385123
  • I_{21} = 1115045
  • I_{22} = 857641
  • I_{23} = 631526

まだまだ小さくなります。

  • I_{30} = 25083
  • I_{40} = 16.9507
  • I_{41} = 7.0628
  • I_{42} = 2.8735
  • I_{43} = 1.1422
  • I_{44} = 0.4438

やっと、1 を切りました。
数字を並べてるだけでは、この先ずっと減り続ける一方なのかどうかという保証はありませんけれど。

ちょっと話が飛びます。
数学には「極限」というのがあります(数Ⅱかな)。
回答編に出ている ¥lim_{n¥to¥infty} I_n です。
「n を果てしなく大きくするとどうなる」です。
I_n は、n の小さいところでは、増えたり減ったりしてましたが、n を果てしなく大きくすると I_n = 0 になる、という計算をしています。

n を果てしなく大きくすると 0 になる、ということは、その途中のどこかから先は 1 よりも小さくなるということです。
もちろん、どこかから先は 2 よりも小さくなるはずだし、その手前には 3 よりも小さくなるところがあるのですけれど、この証明のゴールは「I_nは整数である」ということと矛盾する、というところです。
なので、I_nが 1 よりも小さくなる n がどこかにある、ということを前半で示すことができれば良いんです。

2016/03/26 20:07:35
  • id:a-kuma3
    回答2号のふたつめのコメントは、どんな感じなんでしょう。
    分かる(ので、もっと詳しく)/分からない/一部が分からない。

    あれをかみ砕いて説明することはできるかもしれないけど、あそこからもう一歩 具体的にしようとするとかなり飛躍しなきゃいけない、と思う。
    # 具体的のイメージによるけど
  • id:grankoyan2
    ”πを有理数だと前提して特定の式を解いていくと矛盾が生じ”ることが噛み砕かれたらなんとなく納得できそうです。
    元の質問者さんと同じで、自然数を~実関数が~とかなるともう拒絶反応が出るですけど。
  • id:takejin
    「無理数」を理解するのが無理。という文系の人間を多数知っている。いや、理系でも実は理解していないことも多い。
    「有理数じゃない」という定義は、実感を伴わないからだ。

    んじゃ、有理数ってなんだ?となるが、がんばれば分数で書ける数なんだが、頑張り方が半端じゃなくなると、「もう無理数なんじゃね?」となる。でも、人知の及ぶ範囲であれば有理数なので、これは有理数。
    無限の概念は難しく、有理数の方に無限の概念(循環小数等々)が入ってくるのが生理的に受け付けないこともあり、有理数の境目があいまい。なので、「有理数じゃない」という定義は受け入れにくいのだと思う。しかも、無理数であるという証明は、「これは無理数である」ではなくて、「これは有理数ではない」であり、さらに、直接「これは有理数ではない」というのではなく、「これを有理数と仮定すると矛盾が生じる。しかるにこれは有理数ではないと推定される。」となって、めんどくさい。それに、有理数の定義「分子分母とも整数」を式にする時点で素人の領域から外れるわけで、もう見てもわからない式の羅列になってしまう。
    式の解説って超高度な技術で、式は書けるし解けるけど何してるかを「テクニカルターム無し」に説明するのは非常に困難。数式は「唯一無二の言語」なのです。
    ある式を次の式に変換するところは、かろうじて「この式をこうしてこうするとこうなります」がほとんど。見りゃわかるだろ、というのがホワイトボードに張り付く人種の主張。

    どの式までなら「踏みとど」まれます?さすがに、四則演算だけだと何ともならない。
  • id:grankoyan2
    要は出てきた式を片っ端から理解してけってことになるんですかね。わかんなかったら調べて理解していく。
    数式を理解せずとも、”どういう意味合いで作られた、生まれた式なのか”がわかれば数学知らなくても理解たりしないかなとか思ったのは甘かったですかね。
    それができたら、数式を擬人化したラノベとか漫画とかで証明問題を綴っていけそうだなと今思ったんですけど。
  • id:takejin
    限界が「数学ガール」と言えばわかります?
    あれで取り残されると(多分たくさんいるだろう)、扱える数学の範囲が非常に狭くなる。
  • id:a-kuma3
    鯉が自らまな板の上に上がりましたよっ!

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