匿名質問者
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数学の独立事象がよく分かりません。

例えば、数学的に理想的な赤と黒しか存在しない電子ルーレットで、黒が二回連続して出たら赤に掛ける。1回当たりの掛け金は1円。
この方法を続けた場合でも期待値は1から変化無いと聞きます。
しかし、例えば、1億回など繰り返した場合、黒と赤の比率は1:1に収束し、実際の期待値は1を上回るのではないでしょうか?

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2016/06/11 14:09:01
  • 終了:2016/06/18 14:10:03

回答(4件)

匿名回答1号 No.1

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2016/06/11 15:36:25

こんにちは。

>数学の独立事象がよく分かりません。

詳しくはランダムウォーク,確率過程,
べイズ統計,二項分布,ベルヌーイ分布について調べてみて下さい。
(前提知識のレベルや,対象とする学年が分かれば説明しやすくなるのですが。
 高1の確率なのか,大学の統計学なのか。)


>例えば、数学的に理想的な赤と黒しか存在しない電子ルーレットで、

毎回「ベルヌーイ試行」をするんですね。


>黒が二回連続して出たら赤に掛ける。

黒→黒→黒 と
黒→黒→赤 では
同じ確率です。

なので,3回目を当てようとして
「つぎは黒」「つぎは赤」
のどちらを選んでも,3回目が当たる確率は増えも減りもしません。

2回目までの情報を得たところで,
3回目の結果には何の影響もありません。

なので最終的な手持ち金額の期待値も変わらないのです。


以下は1:1についての解説です。

黒が3回続いて,そのあとに赤が3回続いた。
あるいは極端な話,
黒が5千万回続いて,そのあとに赤が5千万回続いた。
このような赤と黒の並び順も,順列として起こりうるのです。

それをあとから振り返ってみると
黒と赤の確率は1:1だった
と,「結果論」として述べているにすぎません。

「いままでに黒が2回出た」
という過去の情報と,
「次に赤が出る」
という未来の情報と,何の関係もないのです。

「いままでに黒が連続で1億回出た」
という情報すら,何の価値もありません。
次,1億1回目に黒が出るか,赤が出るか
あいかわらず50%ずつで,予測できないのです。

黒が2回出た時点で,次に何が出やすいのか
まったく予測しやすくなっていません。
予測しやすさをアップさせるような情報を得ていないからです。
未来を予測するという行為において,
「今まで過去に何が出たか」という情報が
情報理論で言うところの情報量を持っていないのです。


ただ,確かなことは,
試行をたくさん行なうと
しだいに黒:赤の比率は1:1に収束する。
ということだけです。

何回目の試行の時点で,どれぐらい1:1に近くなるのか
保証はありません。


ただし,1:1からのずれ,誤差を
限りなく小さくしていくことが可能である,という保証はあります。

たとえば,1:(1+ε)という比率として
εが0.0000001よりも小さくなるようにしたい
という場合,
「ある大きな回数Nが存在して,N回だけ試行すればε<0.0000001となる」
という条件を満たすNが存在する
という保証はあります。

その具体的なNの数値を求められるわけではありません。


これが数学(解析学)で言う,イプシロンデルタ論法による収束です。
「限りなく回数を増やすと,いくらでも誤差は小さくなっていく」
という主張は正しいのです。

回数が具体的に2回とか1億回の時点において,
何らかの保証を与えるものではありません。
そこから先の将来も読めません。


>1回当たりの掛け金は1円。

黒・赤の予想が当たれば+1円だが
外れれば掛け金を失うので-1円
ということですね。

このルーレットを1億回試してみると
平均的に言って,勝つ確率も負ける確率も打ち消し合いますので
「最終的な手持ち金額の期待値」は
0円ですね。
(0円からスタートした場合)



>この方法を続けた場合でも期待値は1から変化無いと聞きます。
>~~実際の期待値は1を上回るのではないでしょうか?

最初の手持ち金額が1円ということですか。


>しかし、例えば、1億回など繰り返した場合、黒と赤の比率は1:1に収束し

これは正しいです。


質問者さんは,どの部分の理解に疑問を持ったのでしょう。


下記のようなイメージを持つと想像しやすいかも。

(1)黒のカード2枚,赤のカードが1枚ある。
シャッフルして1枚ずつ引いてゆき,引いたカードは戻さない。
2回黒が出た。
次に出るカードが赤である確率は?(100%)

(2)(1)において,黒のカードが3枚と,赤のカードが3枚だったらどうか。
2回黒が出たら
次に出るカードが赤である確率は?(75%)

(3)(1)において,黒のカードが3億枚と,赤のカードが3億枚だったらどうか。
2回黒が出たら
次に出るカードが赤である確率は?
(ほとんど50%だが,赤のほうが2枚だけ多いので,赤にかけたほうが良い)

(4)黒のカードが1兆枚と,赤のカードが3兆枚だったらどうか。
2回黒が出たら次に出るカードが赤である確率は?
(誤差が0すれすれになるほど,ほとんど50%)

(5)黒のカードが∞枚と,赤のカードが∞枚だったらどうか。
2回黒が出たら次に出るカードが赤である確率は?
(完全に厳密な50%)


(1)と(5)の違いを考えると面白いです。
(5)こそが,最初に考えたルーレットの条件であり,
過去に引いたカードの情報が将来に影響を与えない
独立であるということの意味ですね。

匿名回答2号 No.2

匿名回答2号「匿名質問」を利用した質問に回答すると「匿名回答○号」と匿名で表示されます。
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2016/06/11 15:58:36

期待値の用法が混乱しているようですが、黒が出たら1円儲かり赤が出たら1円失うという意味では期待値は0です。繰り返して行う場合も期待値は0のままですが、ばらつきはむしろ大きくなります。

例えば黒が100回出た場合は今後赤が多く出ないと大数の法則と矛盾するではないかと思うかもしれませんが、n回繰り返したとして

全体での黒の比率
=(全体の黒の回数)}/n
={100+(今後の黒の回数)}/n
=100/n+(今後の黒の回数)/n
=100/n+{(今後の黒の回数)/(n-100)}×(1-100/n)
=100/n+今後の黒の比率×(1-100/n)

で、100/nは0に収束し、1-100/nは1に収束しますから、今までたくさん黒が出たからといって「全体での黒の比率が1/2に収束すること」と「今後の黒の比率が1/2に収束すること」は矛盾しません。

なおNo. 1でいう「ベイズ統計」は「偏っているかもしれないことを想定した場合」に用いる方法で、しかも非主流の立場です。質問者が言っているのはそういうことは想定していないので、かえって混乱を招くと思います。(5)も文字どおりではあり得ないことですが、解釈によっては考えられます。

なお大数の法則は正確には、例えば
「比率の許容誤差が0.01以内に入る確率が0.99以上になるようにしたい」
という場合には試行回数nを十分大きく取れば可能。もっと一般には0.01をもっと小さくして(ただし正)0.99をもっと大きくして(ただし1未満)も、それに応じてnを十分大きくすれば可能、ということです。無限回試行することを考える必要はありません。

上のは厳密には大数の弱法則というものであって、
「仮想的な無限試行を考えたときに、『n回目までの比率が1/2に収束する』確率が1」
というのが大数の強法則です。
「無限回試行できないから空論ではないか」
というのはもっともな疑問ですが、「有限の範囲で考えて矛盾がなければ無限回試行を考えてよい」ということが分かっていますが、決して明らかなことではありません。Kolmogorovの拡張定理と呼ばれるものです。

他1件のコメントを見る
匿名回答2号

長い数式とその直後の文を訂正しました。

2016/06/11 18:51:56
匿名回答2号

(ただし1未満)の前の部分をちょっと訂正しました。

2016/06/11 18:56:41
匿名回答3号 No.3

匿名回答3号「匿名質問」を利用した質問に回答すると「匿名回答○号」と匿名で表示されます。
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2016/06/11 16:14:08

当たったら、2倍もらえる前提なら、期待値0では?
123,支出,収入,結果
黒黒黒,1,0,-1
黒黒白,1,2,+1
黒白黒,0,0,0
黒白白,0,0,0
白黒黒,0,0,0
白黒白,0,0,0
白白黒,0,0,0
白白白,0,0,0

匿名回答4号 No.4

匿名回答4号「匿名質問」を利用した質問に回答すると「匿名回答○号」と匿名で表示されます。
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2016/06/12 00:27:20

理想的な電子ルーレットとはいったが赤黒交互にでるルーレットとはだれもいっていない。
 
きみの理想のルーレットってのは交互に目が出るヤツなの?
それルーレットでもなんでもないで。いかさまや。

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