1:高校受験数学の問題で、四角柱の頭部を切断した残り部分の体積を求める公式として

底面積x(a+b+c+d)/4(abcdはそれぞれ底面に垂直な辺の長さ)
つまり、体積=底面積☓底面に垂直な辺の長さの平均 があるそうですが、なぜそうなるのですか?

同じ立体を重ねるという考え方、例えば http://minoehon.cocolog-nifty.com/start/2014/07/post-49c2.html という説明がありますが、手元にある「塾で教える高校入試 数学 塾技100 (シグマベスト)」によると
>>
(公式が成り立つ理由は)切断後に残った体積の上に、それを鏡に映した時にできる立体(鏡像という)を逆さにしたものをくっつけ、高さがa+c(b+d)(原文ママ)になる直方体を考えればすぐわかるので、自分で確かめてみよう。
<<
とあります。なぜ「塾技100」ではこのような説明をしているのか疑問が湧きましたが、恥ずかしいことに空間図形に弱く、自分で確かめられませんでした。(高さがa+c(b+d)になる、というのも意味がわかりませんでした。)

どなたか、詳しい解説をいただけると幸いです。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2016/10/20 06:24:57
  • 終了:2016/10/20 21:26:02
id:crazycrescent

2:三角柱でも
底面積x(a+b+c)/3(abcはそれぞれ底面に垂直な辺の長さ)
になるそうですが、これはなぜでしょうか?三角柱の場合は同じ立体を重ねるという考え方は使えなさそうに感じます。

となると、三角柱の場合は別な方法で公式を導いているのでしょうか?
そうだとすると、例えば角錐の体積が角柱の1/3もなるという公式は積分をやらないと正確にはわからないように、切断角柱体積の高さの平均公式も難しい方法で作られていて、理由を考えるより暗記してしまった方がいいのかも?などとも考え始めました。

関連があれば、こちらもよろしくお願いします。

ベストアンサー

id:MIYADO No.1

みやど回答回数355ベストアンサー獲得回数752016/10/20 08:25:55

a+c(b+d)という書き方が誤解の原因です。これだとa+c×(b+d)のことと誤解されて当然ですが、a+cすなわちb+dのように書くべきです。ですから、
体積=底面積×(a+c)/2=底面積×(b+d)/2=底面積x(a+b+c+d)/4
です。

三角錐を切る場合は鏡映して重ねる方法は使えませんから別な方法で示します。ただし、その際に角錐の体積の公式を使っていますから、問い詰め出すと中学校の範囲では厳密には示せません。
http://sakuragumi.cocolog-nifty.com/blog/2009/06/post-dfab.html

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id:MIYADO

なぽりんさんの図だと一般の四角形のように見えますが、一般だと「鏡映して上に重ねて四角柱」にはなりません。
質問者の参考書で底面がどういう条件の四角形なのか、きちんと確かめてみましょう。

2016/10/20 13:54:20
id:MIYADO

角錐の体積についても、「特殊な場合であれば」こちらの最初の図のように簡単に示せます。
http://mathtrain.jp/suitai

しかし一般の角錐で成り立つということは、積分を使うか、実質的にそれと同様のことをしなければ示せません。これは実は示せないということ自体が示されています(ヒルベルトの第3問題の否定的解決)。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ヒルベルトの23の問題

2016/10/20 14:06:06

その他の回答(1件)

id:MIYADO No.1

みやど回答回数355ベストアンサー獲得回数752016/10/20 08:25:55ここでベストアンサー

a+c(b+d)という書き方が誤解の原因です。これだとa+c×(b+d)のことと誤解されて当然ですが、a+cすなわちb+dのように書くべきです。ですから、
体積=底面積×(a+c)/2=底面積×(b+d)/2=底面積x(a+b+c+d)/4
です。

三角錐を切る場合は鏡映して重ねる方法は使えませんから別な方法で示します。ただし、その際に角錐の体積の公式を使っていますから、問い詰め出すと中学校の範囲では厳密には示せません。
http://sakuragumi.cocolog-nifty.com/blog/2009/06/post-dfab.html

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id:MIYADO

なぽりんさんの図だと一般の四角形のように見えますが、一般だと「鏡映して上に重ねて四角柱」にはなりません。
質問者の参考書で底面がどういう条件の四角形なのか、きちんと確かめてみましょう。

2016/10/20 13:54:20
id:MIYADO

角錐の体積についても、「特殊な場合であれば」こちらの最初の図のように簡単に示せます。
http://mathtrain.jp/suitai

しかし一般の角錐で成り立つということは、積分を使うか、実質的にそれと同様のことをしなければ示せません。これは実は示せないということ自体が示されています(ヒルベルトの第3問題の否定的解決)。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ヒルベルトの23の問題

2016/10/20 14:06:06
id:NAPORIN No.2

なぽりん回答回数4682ベストアンサー獲得回数8572016/10/20 12:50:35

f:id:NAPORIN:20161020124953j:image

その参考書の説明を絵にすると、こういうことです。赤い線でまっすぐに切れたとき、図のaとaのように対角線にある部分の辺のながさが同じになるように切ってある場合だと考えられます。
切る前の柱の体積を求めるためには、すべての部分を足せばよい。2回a+b+c+dを足したものを4で割ったら切る前の柱の高さになります。一つの辺、たとえば上下で向かい合っていて、切る前は一本の辺をなしていた、a+cだけ(またはb+dだけ)はかれれば、それでもよいでしょう。(参考書の書きぶりはこういう意味です)
 
実際、上と下は同じ体積です。
三角柱でもおなじように上下で重ねた上で2で割ることができます。
正三角形でなくてもいいし、四角柱が断面長方形や平行四辺形でなくてもその式はなりたちます。
しかし不定形四角形や三角形でこれを使うと、上下の立体が完全に合同とはいえない形になります。
そこに気付かれてしまう賢いお子さんほど、「形が同じだから同じ体積!2で割ればよい!」というふうにはなっとくできなくなるとおもいます。
しかし、高校の積分や大学の重積分で習うことなのですが、五○衛門の刀の軌跡が「完全な平面」になった断面を作っているという前提があれば(内部で山形や波型などに切れていないこと)(そして当然ですが重心を通っていれば)上下で同じ体積をもつようになります。
 
でもその証明は積分がでてからになるので面倒になります。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7830314.html こちらに実際の証明があります。
 
五右○門のこの絵を使うのは、立方体や直方体の切頭四角柱の場合なら2つが同じ立体になるよねと感覚的に理解させる目的にとどめ、公式まる覚えの助けにさせた上で、実はこれはどんな切頭多角柱にもつかえることが「わかっているのだ」と説明した方がよさそうです。

  • id:crazycrescent
    ご両者ともありがとうございます。

    ***
    >質問者の参考書で底面がどういう条件の四角形なのか
    底面は正方形でした。
    また、参考書には足りない部分(切断された頭部)を補う程度の簡単な図しか載っておらず、説明としても不十分なものです。

    そのためか、私自身がひとつ誤解をしていました。

    1:直感的には「同じ立体」を「上下逆にして重ねる」で、たぶんうまくいくだろう
    2:しかし、参考書には「鏡像」を「高さがa+c×(b+d)になるように重ねろ」と書いてある(ように読める)
    3:私が最初に思いついた直感的な方法は間違っているのではないか?高さが「a+c×(b+d)」の平行六面体かなにかになるような、特殊な組み立て方でもあるのでは…?
    4:でも、検索すると「私が最初に思いついた直感的な方法」を証明のごとく図示しているサイトもある。混乱してきた…。

    という流れです。
    ですので、みやどさんの高さの解釈の指摘で、かなりスッキリしました。

    ***
    その上で、つまり高さを「a+cすなわちb+d」のように解釈した上で、なぽりんさんの
    >>
    五右○門のこの絵を使うのは、立方体や直方体の切頭四角柱の場合なら2つが同じ立体になるよねと感覚的に理解させる目的にとどめ、公式まる覚えの助けにさせた上で、実はこれはどんな切頭多角柱にもつかえることが「わかっているのだ」と説明した方がよさそうです。
    <<
    が、私が考えていることを見事に表現してくれました。

    私が例えに出した「錐体の体積は柱体の1/3になる」というのは、中学の時は巧妙に証明を避けているような印象を受けていました。
    高校になって、直角三角形を回転させて円錐を作る計算で初めて納得がいったとともに「そういうわけね。だから『水を3杯錐で汲んで柱に入れるとピッタリ満たせる実験』みたいなことを、さも証明であるかのような扱いにしてたんだね。おかしいと思った」となんて思ってました。生意気でしたけど。

    この参考書は、他のページの公式にはきちんと説明をつけているのですが、体積=底面積☓(a+b+c+d)/4 の公式の説明は不十分なものです。敢えて触れていない雰囲気を感じます。

    ***
    みやどさんの指摘に戻って
    >本当にどんな四角形の場合でも言えるのかというのは簡単ではなさそうです。
    これも、漠然と思ってはいましたが、そこまで考えてはいませんでした。
    三角柱の話と関連付けたり積分の話を例に使ったせいで、私がこの問題を非常に深く考えているかのような、美しい?誤解を招いてしまったかも知れません(笑)。

    私としては、「実は成り立つとわかっている」でスルーできそうです。ただし、ヒルベルトの23の問題に関連するほどの深い問題だったとは、大変に興味深い驚きを感じました。
  • id:crazycrescent
    ベストアンサーは、みやどさんにお願いします。
    なぽりんさんには、私が納得の行く解決案を見事に表現して頂けたと思いますが、みやどさんの高さの解釈の指摘がなければ、そこまでたどり着かなかったであろうので。

    ご両者ともありがとうございました。
  • id:MIYADO
    やはり、一般の四角形ではダメです。

    c=dで辺c, dを極限的に近づけると三角柱を切った場合になるので、一般の四角形で成り立つとすると矛盾が生じます。

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