数学の解き方がわかりません

<問題>
x^2+x+1=0の相異なる回をα,βとするとき、
α^-2015 + α^-2014 + ……+α^-2 +α^-1 + 1 + β + β^2 +……+ β^2014 + β^2015の値を求めよ
答えは-1らしいのですが
導出がいまいちわかりません

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2017/01/23 10:50:57
  • 終了:2017/01/24 17:22:06

ベストアンサー

id:a-kuma3 No.1

a-kuma3回答回数4624ベストアンサー獲得回数19592017/01/23 12:19:53

まず、後半のβの方。

βは x^2 + x + 1 = 0 の解だから、x = β を代入すると、
β^2 + β + 1 = 0

移項して
β^2 = -(β + 1)

次は、β^3
β^3 = β^2 * β
  = -(β + 1) * β
  = -β^2 -β
  = (β + 1) - β
  = 1

同様に、
β^4 = β^3 * β^1
  = 1 * β
  = β

β^5 = β^4 * β
  = β * β
  = β^2
  = -(β + 1)

ここまでを並べてみると
β^1 = β
β^2 = -(β + 1)
β^3 = 1
β^4 = β
β^5 = -(β + 1)
β^6 = 1

みっつずつ繰り返しているのが分かるでしょう。
で、その三つの合計は、
β^1 + β^2 + β^3
= β -(β + 1) + 1
= 0

2015 = 3 * 671 + 2 だから、

β^1 + β^2 + ... + β^2012 + β^2013 + β^2014 + β^2015
= β^2014 + β^2015
= β^2013 * (β + β^2)
   β^2013 = 1 だから
= β + β^2
   β^2 + β + 1 = 0 だから
= -1


前半のαの方も、似たような感じで行けます。
# 残しといてあげる :-)


前半のαの合計、真ん中の 1、後半のβの合計 -1 を足すと答えになります。

その他の回答(1件)

id:a-kuma3 No.1

a-kuma3回答回数4624ベストアンサー獲得回数19592017/01/23 12:19:53ここでベストアンサー

まず、後半のβの方。

βは x^2 + x + 1 = 0 の解だから、x = β を代入すると、
β^2 + β + 1 = 0

移項して
β^2 = -(β + 1)

次は、β^3
β^3 = β^2 * β
  = -(β + 1) * β
  = -β^2 -β
  = (β + 1) - β
  = 1

同様に、
β^4 = β^3 * β^1
  = 1 * β
  = β

β^5 = β^4 * β
  = β * β
  = β^2
  = -(β + 1)

ここまでを並べてみると
β^1 = β
β^2 = -(β + 1)
β^3 = 1
β^4 = β
β^5 = -(β + 1)
β^6 = 1

みっつずつ繰り返しているのが分かるでしょう。
で、その三つの合計は、
β^1 + β^2 + β^3
= β -(β + 1) + 1
= 0

2015 = 3 * 671 + 2 だから、

β^1 + β^2 + ... + β^2012 + β^2013 + β^2014 + β^2015
= β^2014 + β^2015
= β^2013 * (β + β^2)
   β^2013 = 1 だから
= β + β^2
   β^2 + β + 1 = 0 だから
= -1


前半のαの方も、似たような感じで行けます。
# 残しといてあげる :-)


前半のαの合計、真ん中の 1、後半のβの合計 -1 を足すと答えになります。

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4404ベストアンサー獲得回数4052017/01/23 12:51:19

 x^2+x+1=0だから、x^3=1
 次数下げの問題のようなので、
 x^{3n}=1…①
 x^{3n+1}=x…②
 x^{3n+2}=x^2=-x-1…③
①+②+③から
 x^{3n}+x^{3n+1}+x^{3n+2}=0で、αはこれの解だから、¥alpha^{3n}+¥alpha^{3n+1}+¥alpha^{3n+2}=0
 ¥alpha^{-2015}+¥alpha^{-2014}+¥dots+¥alpha^{-2}+¥alpha^{-1}+1
 =¥frac{1}{¥alpha^{2015}}¥times¥left{¥left(1+¥alpha+¥alpha^2¥right)+¥dots+¥left(¥alpha^{2013}+¥alpha^{2014}+¥alpha^{2015}¥right)¥right}=0
 βも同様。ただし、1足りない。(^_^;

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