ウインタースポーツはスキーやスノーボードなどがありますが、他にどのようなものがあるのでしょうか。

スケート　が忘れられていますね。
競技ならスピード、フィギュア、アイスホッケーがありますが、
まずはご家族で氷に慣れてすべること。

雪合戦

スポーツじゃないって？
ならこちら参照。
http://www.jyf.or.jp

穴釣り　（ワカサギ　など）

　例（子供料金あり）　http://wakasagi.keisuikan.com/rental.html

日本各地の凍っている湖でできそうですし、レンタルも利用できると思います。

スキー場なら、そりで滑って遊べたりするところもありますね。

あとはスケートでしょうか。最初は怖がるかもしれませんが、しばらく滑っていてば楽しめるようになると思います。
参考までに下記サイトでお近くのスケート場を探すことができます。
http://skatingjapan.or.jp/rink/index.html#rink-list