スマホでゲームが出来る仕組みを教えてください。

サーバに接続しないタイプのゲームもあります。
サーバに接続するタイプのゲームはMMOとかソーシャルゲームとかいいます。
他のプレイヤーと協力プレイするようなタイプのものが多いです。

サーバとはクライアントサーバモデルのサーバの事であり、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB
http://www.tdk.co.jp/techmag/knowledge/200805/
この場合、スマホはクライアントになります。
サーバは数百人、数千人という大勢のクライアントから
要求される大量のリクエストを処理します。
サーバの仕事が少なければ少ないほどサーバの反応速度は早くなりますので、
クライアント側で処理できる作業は全てクライアント側に任せてしまうんです。
このように、両者はそれぞれ異なる役割の仕事を行いますので、
当然ながら走らせるプログラムもそれぞれ異なります。

サーバは24時間365日ずっと電源を入れっぱなしなんですが、
機械なので当然故障などもありえます。
サーバが故障してしまうとどうなるかというと、
頑張って育てたプレイヤーデータが全て吹き飛ぶわけですね。
そうなった場合にも被害を最小限に留めるため、
定期的なメンテナンスでクライアントからの要求を止めて、
データのバックアップを行ったりします。
データは普通サーバ上にあります。クライアント側にはありません。
クライアント側でデータを管理するとデータの不法改造がやり放題ですからね。
このメンテナンスを行えるのは運営会社の人だけですので、
その意味では誰でもアクセスできるわけではありません。
でもメンテナンスしていない時であれば誰でもアクセスできます。
ただし、自分のデータにアクセスできるよう、
IDとパスワードを入力して自分のアカウントにアクセスしているはずです。

> サーバーは、誰でもアクセスできるものじゃなくて

ここの「アクセス」にはいくつか種類かありますのでそれらの種類を分離せずに「誰でもアクセスできるものじゃない」というのは一部正しく一部誤りです。

「サーバーを操作するためのアクセス(A)」は一部の人にしかできないようになっています。
「サーバーとゲームの情報をやりとりするためのアクセス(B)」はスマホに許可されています。

> ゲームは、本当はゲーム会社にあるサーバーっていうパソコンの中にあって、スマホからゲーム会社のサーバーにアクセスすることでゲームが出来る

の「アクセス」は上記の(B)です。

> サーバーは、誰でもアクセスできるものじゃなくて

の「アクセス」は上記の(A)です。

> サーバーで仕事をする人がいて、その人が仕事をしている間はメンテナンス中だからゲームが出来ない

この部分は(A)をする際に場合によっては(B)が邪魔になるケースがあるため、(A)の操作によって一時的に(B)を遮断した場合に成立します。(B)が邪魔にならない場合はメンテナンス中でも(B)を遮断せずにゲームがそのままできる場合もあります。