0.999…=1の証明について、疑問を見つけた気がしてきました。


1:S=0.999…とおく。
2:10SーS=9.999…-0.999…=9
3:よって9S=9より、S=0.999…=1

この証明は、ひょっとして、1の段階ですでに結論を先取していないでしょうか?
この証明は「0.999…がなにか一つの完結した数として存在する」という前提の上に成り立っている様に思え、その前に「0.999…が一つの完結した数として存在する」ことを、別口で示しておかないといけないような気がしてきました。

例えば、収束しない(もしくは収束するかどうかわからない)のものを一つの数として存在すると勝手に前提して考えると
1:S=1-1+1-1…
2:S=(1-1)+(1-1)…=0
2':S=1+(-1+1)+(-1+1)+…=1
3:あれ?
みたいな間違いをすることになるそうですが。

実は、そういうのはきちんと解決されているのだろうと思っていますが、数学者はどう処理しているのかとかその処理は一般人でも理解できるものなのかとか、ひょっとして私の疑問自体が成り立たないものであるとか、そういった点をご教授いただけると幸いです。

よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2017/10/26 20:46:14
  • 終了:2017/10/31 07:18:27

ベストアンサー

id:tatsumi-da No.2

tatsumi-da回答回数25ベストアンサー獲得回数52017/10/29 05:38:46

ポイント50pt

そもそも、0.99999...=1の意味は、
数列0.9, 0.99, 0.999, ... は収束し、その値は1である。
なので、
1 0.9, 0.99, 0.999, ...は収束する。
2 0.9, 0.99, 0.999, ...が収束するとすると、その値は1である。
という意味です。
1はみやどさんが説明済みなので、略。
3 0.9, 0.99, 0.999, ...が一意的な値に収束する。
のかどうかも考慮しておいた方がいいかも。証明はεδですぐ示せるので、省略します。
なので、0.999...=Sとしている時点で、1と3は認めていることになります。

あと、収束するが、その収束先がないもの
有理数で1, 1.4, 1.41, 1.414, ... の収束先存在しない(実数上では√2)
とかは、実数の完備性について調べると良いかもしれません。

その他の回答(1件)

id:MIYADO No.1

みやど回答回数462ベストアンサー獲得回数912017/10/27 08:37:57

ポイント50pt

その証明だと
「上に有界な単調増加数列は収束する。」を暗黙に認めています。
しかし、何かは認めなければいけません。きちんと学びたければ実数の連続性について学びましょう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/実数の連続性

id:tatsumi-da No.2

tatsumi-da回答回数25ベストアンサー獲得回数52017/10/29 05:38:46ここでベストアンサー

ポイント50pt

そもそも、0.99999...=1の意味は、
数列0.9, 0.99, 0.999, ... は収束し、その値は1である。
なので、
1 0.9, 0.99, 0.999, ...は収束する。
2 0.9, 0.99, 0.999, ...が収束するとすると、その値は1である。
という意味です。
1はみやどさんが説明済みなので、略。
3 0.9, 0.99, 0.999, ...が一意的な値に収束する。
のかどうかも考慮しておいた方がいいかも。証明はεδですぐ示せるので、省略します。
なので、0.999...=Sとしている時点で、1と3は認めていることになります。

あと、収束するが、その収束先がないもの
有理数で1, 1.4, 1.41, 1.414, ... の収束先存在しない(実数上では√2)
とかは、実数の完備性について調べると良いかもしれません。

id:crazycrescent

質問の動機ですが、2ちゃんねるで「0.999…≠1を証明した。論破しろ(私の意訳)」というスレッドを見かけました。案の定グダグダになって結論は出なかったのですが
「お互いに正反対の証明が存在して、片方に明確な誤りを見つけるのがとても難しいのはなぜだ?」
「ひょっとして、両者の間には無限に対する立場の違いみたいなことが根底に横たわっているのでは?そういやこないだ新書で実無限と可能無限の立場の違いみたいなことを読んだし」
「となれば、0.999…=1を認めない立場というのはそれなりに変なものではないのかも?」「0.999…=1の証明にも、反対派が認めたがらない前提を暗黙の上で認めているのかも知れない」
と考えて、言い方が大げさですが0.999…=1の証明を吟味してみようと思いたちました。

tatsumi-daさんの√2の例ですが、私も漠然と思っていました。
「3、3.1、3.14、3.1415、…って、一つの完結した数なのかな?πって名前をつけてるから完結した数として扱われているだけなんじゃなかろうか?」「無理数の例で出された0.1010010001…なんかも怪しい気がする」「もしそうなら、0.999…はπ(や√2)と同じに扱っていいんだろうか?」
今言葉にするとそんな感じの違和感です。

ですので
>有理数で1, 1.4, 1.41, 1.414, ... の収束先存在しない(実数上では√2)
>とかは、実数の完備性について調べると良いかもしれません。
という指摘がありがたかったです。
その方向で一般向け解説本を探してみます。


突然思い出しましたが、子供の頃に 不等号を習った時に「□<5って言うのは5を含まない」「4.999…までだよ」みたいなことを言われて微妙な気分になったのを覚えています。たぶん私は普通の人より0.999…ネタにこだわりを持つ性格なんでしょう。「□≦5は、5.00…1を含まない」は気にならないんですが。

  • id:MIYADO
    0.999…≠1となる数学もあるんです。普通の実数と違うものを認めれば。
    普通の実数の世界では(それには何かを認めなければいけないわけですが)0.999…=1です。

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