また、お世話になります。主人の話です。新しい会社に務め始めてから、1年半くらい経ちますが、下さいと言ったにも関わらず雇用契約書を貰えなくて、インターネットの募集記事の条件で面接し、その内容で口頭で契約を交わしましたが、そのインターネットの記事と違う賃金と昇給などもなく、残業手当も貰えていません。また、主人だけ、きつい仕事の場所ばかり回されて、酷い目にあっています。この場合、労働基準監督署所に、雇用契約書をくれないのは法律違反と申請をだし、インターネットの記事の条件と違うので、労働基準監督署の弁護士などから、会社を訴える事が出来ますか？未払いの残業代や昇給も貰いたいのですが？

いい転職先が見つかりそうだとのこと、よかったですね！
（余談ですが、今の仕事に不満を持ちつつ働きながら転職活動している人は、
　その環境が悪ければ悪いほど、ネガティブな考え方をもっているようで、
　面接時でも言葉の端々にネガティブ思考が現れてしまいがちです。
　もし、在職しながらの転職活動が上手くいかない場合は、すっぱり辞めて、
　リフレッシュしてから転職活動した方がいいと思います）

転職するのであれば、なおさら弁護士さんに依頼すべきです。
裁判にしろ、審判にしろ、平日の昼間に行われますので、
代理人（弁護士）がいないのであれば、ご主人はそれに出廷しなければなりません。
転職したばかりの時期ですから、何よりも新しい会社で認められることが重要で、
休みも取りにくいでしょうし、難しいことは弁護士さんに任せて、仕事に専念されるべきです。
その方が、長期的に考えると経済的にもいいと思います。

ご心配されている弁護士費用ですが、特に未払残業代の請求であれば、弁護士先生にとっても
勝てる案件ですので、着手金なしの完全成功報酬、後払いで対応してくださる方が多いようです。
先のマンガの先生でもいいですし、
弁護士ドットコムから相性の良さそうな先生を探してみるのもいいと思います。