【数列】【一般項】【アルゴリズム】

下のような例で、数列の一般項の式を求めようとしています。
(例の説明:左上の数字1から、右下2→上3→左下4、と4つ1組で進んでいます。)
N   解(左列)   解(右列)
1   1        3   
2   4        2   
3   5        7   
4   8        6   

この例については、四苦八苦して、何とか自分で式を立てることができたのですが、
なぜ、この式になるのかが自分でも説明できません。

左列の解を求める式
解(左列) = 1/2 * ( 4* (N-1 ) - (1-(-1) ^ N)) +2
・・・公差は3,1,3,1と交互になる。

右列の解を求める式
解(右列) = 1/2 * ( 4* (N)- ( 1-3 * (-1)^(N+1)))
・・・公差は-1,5,-1,5と交互になる。

・このように、数列で、公差がx,y,x,y…と交互になる場合の、一般的な式の立て方というものがあれば教えていただきたいのです。

・また、左列と右列を分けないで求める式というものを立てることはできるのでしょうか?
よろしくお願いいたします。

回答の条件
  • 1人3回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2018/02/26 20:52:25
  • 終了:2018/03/05 20:55:06

回答(1件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4415ベストアンサー獲得回数4052018/02/27 01:25:02

ポイント100pt

>このように、数列で、公差がx,y,x,y…と交互になる場合の、一般的な式の立て方というものがあれば教えていただきたいのです。

 漸化式は、次式の通り。
 a_{n+1}=a_{n}+¥frac{x+y}{2}+¥frac{y-x}{2}¥times (-1)^n
a_{n+1}-a_{n}=¥frac{x+y}{2}+¥frac{y-x}{2}¥times (-1)^n
よって、階差数列なので
a_{n}=a_{1}+¥frac{x+y}{2} ¥sum_{k=1}^{n-1}1+¥frac{y-x}{2} ¥sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k
a_{n}=a_{1}+¥frac{x+y}{2} (n-1)+¥frac{y-x}{4}¥left{(-1)^{n+1}-1¥right}
a_{n}=a_{1}+¥frac{x+y}{2} (n-1)+¥frac{x-y}{4}¥left{1+(-1)^{n}¥right}
したがって、左列は、
 a_{n}=1+¥frac{3+1}{2} (n-1)+¥frac{3-1}{4}¥left{1+(-1)^{n}¥right}
a_{n}=2n-1+¥frac{1}{2}¥left{1+(-1)^{n}¥right}
a_{n}=2n-¥frac{1}{2}+¥frac{1}{2} (-1)^{n}=¥frac{4n-1+(-1)^n}{2}
また、右列は、
 a_{n}=3+¥frac{-1+5}{2} (n-1)+¥frac{-1-5}{4}¥left{1+(-1)^{n}¥right}
a_{n}=2n+1-¥frac{3}{2}¥left{1+(-1)^{n}¥right}
a_{n}=2n-¥frac{1}{2}-¥frac{3}{2} (-1)^{n}=¥frac{4n-1-3(-1)^n}{2}

 ちなみに、i行j列として、左列をj=0、右列をj=1とすれば、
 a_{ij}=¥frac{4i-1+(1-4j)(-1)^i}{2}

id:salon_hiyake

素晴らしいです。やっと理解できました。

2018/02/27 12:28:08

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