1530244003 【赤い部分が二等辺直角三角形になるのはなぜ?】

教員採用試験の問題集にあり、恥ずかしながら自分にはわからなかったので質問です。

正方形の中に、正三角形が図のように内接しているとします。

そのとき、赤い三角形の部分が「二等辺直角三角形になるので」と、問題集の解説には書いてあり、そのまま説明が先に進むのですが、学生から「なぜ二等辺直角三角形になるのか証明してほしい」と言われ、言葉に詰まってしまいました。

「線対称だから」以外の、きっちりとした証明はないでしょうか? よろしくお願いいたします。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2018/06/29 12:46:43
  • 終了:2018/06/30 16:47:39

ベストアンサー

id:a-kuma3 No.2

a-kuma3回答回数4726ベストアンサー獲得回数20252018/06/29 17:04:25

ポイント100pt

赤で塗られていない方の、すき間の二つの三角形に注目します。

三角形の合同の条件は、みっつありますが、直角三角形の場合には、更にふたつ加わります。

  • 斜辺の長さと、鋭角のひとつが、それぞれ等しい
  • 斜辺の長さと、他の辺の長さが、それぞれ等しい

すき間の三角形は、直角三角形です(ひとつの角が正方形の角だから)。
斜辺の長さは、内接している正三角形の辺なので、長さは等しいです。
斜辺ではない辺のうち、正方形の一辺である辺は、長さが等しいです。

直角三角形で、「斜辺の長さと、もう一辺の長さが、それぞれ等しい」を満たすので、ふたつの三角形は合同です。

なので、正方形の一片ではない方の長さが等しいですから、正方形の一辺から、その長さを引いた線分、つまり赤い三角形の正方形と辺を共有している線分の長さが一致するので、赤い三角形は二等辺三角形です。
その二辺で挟まれた角は、正方形の角ですから直角。

というわけで、赤い三角形は直角二等辺三角形です。




(追記です)
絵がないときついので、回答 No.3 で使われていたページの絵を使います。
https://sci-pursuit.com/math/triangular-congrent-condition.html#2

まず、「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい」から。
f:id:a-kuma3:20180630162927p:image
もうひとつの鋭角である、∠BAC の角度は、直角-∠ABC です。
∠ABC=∠A'B'C' ということは、それぞれを直角から引いた値 直角-∠ABC=直角-∠A'B'C' です。
つまり、∠BAC=∠B'A'C' 。

一辺と、その両端の角がそれぞれ等しいので、ふたつの直角三角形は合同です。


つぎに、「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」。
f:id:a-kuma3:20180630162938p:image
辺 b の長さは、¥sqrt{c^2-a^2} です。辺 b' も同様。
a = a' 、c = c' ということは、¥sqrt{c^2-a^2}¥sqrt{{c’}^2-{a’}^2} が成り立つので、b = b' です。

三辺の長さが等しいので、ふたつの直角三角形は合同です。

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id:lionfan2

a-kuma3様、了解です。これで完全に納得いたしました。
BAはa-kuma3様に差し上げたいと思います。

2018/06/30 16:46:43
id:a-kuma3

算数とか受験数学の「証明せよ」問題は、たいていの場合、ゴールの形が決まっています。
「二等辺三角形であることを証明せよ」の場合、

  • 二辺の長さが等しい
  • 二つの角の大きさが等しい

のどちらかです。
「長さが等しい」は、合同か平行四辺形、「角度が等しい」は、合同か相似が定番かと。

No.3 の回答のコメントで id:MIYADO さんが触れていた「正方形に内接する正三角形が、ひとつの頂点を共有するときに、それは線対称になっている」の方が、難しいかな、と。
ゴールの形がふわっとしてるので。
多分、軸を決め打ちにして、残りの二点が対象になってる(もちろん、三角形の合同を使う)のだとは思いますが。

2018/06/30 17:07:36

その他の回答(5件)

id:keijun5145 No.1

keijun5145回答回数5ベストアンサー獲得回数12018/06/29 13:37:16

ポイント30pt

正方形の中の正三角形なので、正方形の図左上から出ている線が作っている角度は15度、60度、15度
その角から出ている線(正方形の一辺)は下にいっても右にいっても等しい。
三角形の斜辺に該当する部分は正三角形なので、長さが等しい
このことから2辺とその間の角が等しいので左側の三角形と上の三角形は合同
いずれも三角形の短辺になるので、正方形の一辺の長さをnとして合同を証明した三角形の短辺をmとm'とする(mとm'は合同)
赤の三角形の2辺の長さはn-mとn-m'になる(この長さは等しい)
このことから赤の三角形は直角二等辺三角形になる

ぐらいでしょうか?
お昼寝しないで考えてみました。
ご参考まで。

他3件のコメントを見る
id:kamiyaman_blog

それについては二人目や三人目の回答者が証明してるのでそれを活用すればいいと思います。

この問題はおそらく小学6年生レベルのものかと思います。
一見情報が少なすぎて証明困難に見えますが、算数の基礎知識(この場合は正三角形の三辺の長さは等しく、内角はすべて60度という性質など)を活用することで道が開けるという、算数・数学の面白さ・奥深さを教えてくれるいい問題です。

2018/06/30 12:38:25
id:lionfan2

keijun5145様、ありがとうございます。了解です。

2018/06/30 16:02:06
id:a-kuma3 No.2

a-kuma3回答回数4726ベストアンサー獲得回数20252018/06/29 17:04:25ここでベストアンサー

ポイント100pt

赤で塗られていない方の、すき間の二つの三角形に注目します。

三角形の合同の条件は、みっつありますが、直角三角形の場合には、更にふたつ加わります。

  • 斜辺の長さと、鋭角のひとつが、それぞれ等しい
  • 斜辺の長さと、他の辺の長さが、それぞれ等しい

すき間の三角形は、直角三角形です(ひとつの角が正方形の角だから)。
斜辺の長さは、内接している正三角形の辺なので、長さは等しいです。
斜辺ではない辺のうち、正方形の一辺である辺は、長さが等しいです。

直角三角形で、「斜辺の長さと、もう一辺の長さが、それぞれ等しい」を満たすので、ふたつの三角形は合同です。

なので、正方形の一片ではない方の長さが等しいですから、正方形の一辺から、その長さを引いた線分、つまり赤い三角形の正方形と辺を共有している線分の長さが一致するので、赤い三角形は二等辺三角形です。
その二辺で挟まれた角は、正方形の角ですから直角。

というわけで、赤い三角形は直角二等辺三角形です。




(追記です)
絵がないときついので、回答 No.3 で使われていたページの絵を使います。
https://sci-pursuit.com/math/triangular-congrent-condition.html#2

まず、「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい」から。
f:id:a-kuma3:20180630162927p:image
もうひとつの鋭角である、∠BAC の角度は、直角-∠ABC です。
∠ABC=∠A'B'C' ということは、それぞれを直角から引いた値 直角-∠ABC=直角-∠A'B'C' です。
つまり、∠BAC=∠B'A'C' 。

一辺と、その両端の角がそれぞれ等しいので、ふたつの直角三角形は合同です。


つぎに、「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」。
f:id:a-kuma3:20180630162938p:image
辺 b の長さは、¥sqrt{c^2-a^2} です。辺 b' も同様。
a = a' 、c = c' ということは、¥sqrt{c^2-a^2}¥sqrt{{c’}^2-{a’}^2} が成り立つので、b = b' です。

三辺の長さが等しいので、ふたつの直角三角形は合同です。

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id:lionfan2

a-kuma3様、了解です。これで完全に納得いたしました。
BAはa-kuma3様に差し上げたいと思います。

2018/06/30 16:46:43
id:a-kuma3

算数とか受験数学の「証明せよ」問題は、たいていの場合、ゴールの形が決まっています。
「二等辺三角形であることを証明せよ」の場合、

  • 二辺の長さが等しい
  • 二つの角の大きさが等しい

のどちらかです。
「長さが等しい」は、合同か平行四辺形、「角度が等しい」は、合同か相似が定番かと。

No.3 の回答のコメントで id:MIYADO さんが触れていた「正方形に内接する正三角形が、ひとつの頂点を共有するときに、それは線対称になっている」の方が、難しいかな、と。
ゴールの形がふわっとしてるので。
多分、軸を決め打ちにして、残りの二点が対象になってる(もちろん、三角形の合同を使う)のだとは思いますが。

2018/06/30 17:07:36
id:Asayuri No.3

Asayuri回答回数95ベストアンサー獲得回数202018/06/29 18:23:53

ポイント30pt

 
直角三角形の合同条件を使います
 
https://sci-pursuit.com/math/triangular-congrent-condition.html#2
 
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい直角三角形は合同ですから
 
正三角形の上と左にある直角三角形は合同となります
 
合同な三角形のそれぞれ対応する辺の長さは等しいですから
 
赤い三角形の上にある三角形の辺長と 左にある三角形の辺長は等しいです
 
したがって 赤い三角形自身の右と下の辺長は等しいので
 
赤い三角形は直角二等辺三角形となります
 

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id:Asayuri

 
直角三角形の合同条件解説のURLです
参考になさってください
 
https://jhs-math.komaro.net/jhs02/%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%9B%B3%E5%BD%A2%E3%83%BB%E8%A8%BC%E6%98%8E/%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%90%88%E5%90%8C/
 

2018/06/30 18:26:14
id:lionfan2

Asayuri様、本当にありがとうございました!!

2018/06/30 19:20:45
id:rsc96074 No.4

rsc回答回数4415ベストアンサー獲得回数4052018/06/29 23:07:11

ポイント20pt

 正方形の一辺の長さをx、正三角形の一辺の長さをyとすると、
 上側の長さyの斜辺、長さxの一辺からなる直角三角形の残りの辺の長さpは三平方の定理から次式の通り。
 p=¥sqrt{y^2-x^2}
同様に、下側の長さyの斜辺、長さxの一辺からなる直角三角形の残りの辺の長さqは三平方の定理から次式の通り。
 q=¥sqrt{y^2-x^2}
∴p=q 以下(ry
 ちなみに、これより、三角形の合同条件から上側の直角三角形と下側の直角三角形は合同。(^_^;

他1件のコメントを見る
id:rsc96074

(^_^;

2018/06/30 13:45:48
id:lionfan2

rsc様、別証明、ありがとうございます。

2018/06/30 16:07:06
id:hathi No.5

hathi回答回数213ベストアンサー獲得回数482018/06/30 10:27:14

ポイント25pt

「線対称だから」ではどうしてまずいのでしょうか。
「対称だから」ならばいいのでしょうか。
正方形に正三角形が内接しているのなら、十分なように思うのですが、、

f:id:hathi:20180630102407j:image

id:MIYADO

「線対称だから」だと、正三角形の入れ方の一意性(左上の頂点を固定した上で)を示す必要があります。

2018/06/30 11:51:58
id:lionfan2

hathi様、自分も「対称だから」では、なんとなく説明をごまかしているような気はしたのですが、
どこがダメなのか、正確には把握していませんでした。
というわけで、MIYADO様の指摘は、とても勉強になりました。

2018/06/30 16:08:45
id:moppii No.6

moppii回答回数1ベストアンサー獲得回数02018/06/30 13:32:18

ポイント15pt

そんなxとかyとか角度とか持ち出さなくても、逆向きで合同な細長い直角三角形の3辺がそれぞれ同じ長さなのは明白(正三角形と辺を共有してる&外接する正方形と辺を共有してる)だから示したい図形の2辺は同じ長さでいいじゃん

id:moppii

あ、細長い直角三角形は斜辺ともう1辺が同じ長さだから合同ね

2018/06/30 13:39:08
id:lionfan2

moppii様、ありがとうございます。
あとは「斜辺の長さと、他の辺の長さが、それぞれ等しいなら合同」を、
誰かから教えてもらいたいと思います。

2018/06/30 16:10:59
  • id:MIYADO
    直角三角形の合同条件について、三平方の定理をまだ学んでいない場合の証明。
    https://www.youtube.com/watch?v=7MXJwcapV6I

    実際上は、直角を挟む半直線を引いて、a-kuma3さんの記号で点Bを取って、Aを見つけるために円を描けば交点が1つに定まるだろ、といった「ごまかした証明」が見受けられます。
  • id:MIYADO
    「Twitterでのつぶやき」について、正方形の頂点を中心として円を描けば、正方形の1つの辺に2つの交点はできませんが、ひし形の場合はできる場合もあります。
  • id:a-kuma3
    裏返して二等辺三角形にするやつは、ゴールの形を知らずにたどり着くのはかなりの難関だなあ。
  • id:MIYADO
    本当は三辺合同(最近は三組の辺と言いますが)も似たようなものです。中学校では公理のような扱いですが。
  • id:uunfo
    No. 1に絡んできてるkamiyaman_blogがひどい

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