雇用保険を職安で申請して、

一般的には、、給付制限中のバイトに関して、職安はあまり厳しく監視しません。バイトする事自体も問題ありません。ただ、一定期間以上の場合は就労したと見なします。職安経由でバイトに就いた場合、ないし、待期完了後1ヶ月を過ぎてから就いた場合は再就職手当の対象になります。
就労と見なされない場合は、本来の給付制限が明ければ失業給付の支給が始まります。
就労と見なされた場合でも再度失職という事なので、再度、失業の認定である待期を完了すれば失業給付の対象になります。ただし、再就職手当などを引いた残りの額だけが支給対象となります。
通常、2ヶ月のバイトで雇用保険へ入る事はありませんが、入ったのであれば加入期間合算されます。雇用保険へ入るという事は就労と見なします。ただし、受給に関係なく、手続きのみでも合算はなしとする場合もあるようで、ここはちょっとよく分かりません。
合算無しとなる場合は、前職の失業給付として受給できます。合算の場合は新規の失業としての手続きになります。