「円周率=4」を証明する動画が話題になってるようですが、数学は中学で止まってるので4で納得してしまいました。


無粋なのは承知なのですが、解説くだされ

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  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2018/11/13 14:21:48
  • 終了:2018/11/20 14:25:05

回答(4件)

id:MIYADO No.1

みやど回答回数520ベストアンサー獲得回数1052018/11/13 15:30:50

折れ線が曲線に近づくからと行って、長さも近づくとは限りません。

例えば、長さ1の線分を考え、これをn個の長さ1/nの線分に分割します。その各々を底辺とする正三角形を考えて、他の辺をつなぎ合わせた折れ線を考えると、この長さは2となります。n→∞とするとこの折れ線が元の線分に近づくからといって長さも近づくわけではありません。もし例の証明の論法で行くと1=2となって矛盾です。

id:grankoyan2

あー、文章なのでイメージしにくかったですが、仕掛けはわかりました。
ありがとうございます。

ですが、こちらの例でも無限の直前? では折れ線が2で、無限になると途端に1になるその瞬間に何が起こってるのかがピンときませんでした。

2018/11/13 15:35:10
id:MIYADO

そもそも無限の直前という概念自体がありません。

2018/11/13 16:06:27
id:Lhankor_Mhy No.2

Lhankor_Mhy回答回数787ベストアンサー獲得回数2312018/11/13 16:52:25

みやどさんの回答のとおりだと思うのですが、イメージがつかないようなので補足します。
なお、私も数学は素人なので、勘違いや誤りや不正確な表現を含んでいるかと思います。ご容赦ください。
 
三角形の例ですが、高さ√3/2・底辺1の三角形ですから、面積は√3/4です。
底辺が半分になると、面積はそれぞれ√3/16で2個なので合計√3/8
さらに半分になると、面積はそれぞれ√3/64で4個なので合計√3/16
 
まとめると、
n=1、L=2、S=√3/4
n=2、L=2、S=√3/8
n=3、L=2、S=√3/16
...
n=x、L=2、S=√3/(2^x+1)
...
n=∞、L=2、S=0
となります。
ご覧のとおり、面積は0に収束しますが、長さはnがいくつであっても、たとえ無限であろうともビタイチ動かないです。
 
 
 
件の扇型がきちんとπ/4に収束するかどうかは未確認ですが、同様に「面積の収束」と「長さの収束」とを意図的に混同させた問題であるかと思います。
参考になれば幸いです。

他1件のコメントを見る
id:MIYADO

> n=∞、L=2、S=0

こう書いちゃまずいですよ。
n→∞のとき、L→2、S→0
のように書きます。

面積の場合、扇形の件は大丈夫です。余り変なものを考え出すと、「そもそもそんなものに面積を考えるのか」という問題になっていきますが、Lebesgueの意味で言うなら、少なくとも面積が有限の値として定まるように削っていったものの極限の場合は大丈夫です。

「そんなもの」というのは例えばx. y平面で
A1は0<x<1. 0<y<1の範囲からなる正方形(面積S1=1)
A2はA1からx=1/2の線分を除いたもの(線分は面積0なので依然として面積S2=1)
A3はA2から更にx=1/3, 2/3の複数の線分を除いたもの(線分は面積0なので依然として面積S3=1)
A4はA3から更にx=1/4, 3/4の複数の線分を除いたもの[2/4=1/2は既に除かれているので](線分は面積0なので依然として面積S4=1)


とやった場合は、A1の範囲内で除かれないのはx座標が無理数の部分です。こんなものにも面積を考えるのかということになりますが、これはLebesgueの意味では面積が1のままです。

2018/11/13 17:46:26
id:Lhankor_Mhy

まいさんの回答を見て、みやどさんに何を言われているのかようやく理解しました。

2018/11/14 15:45:02
id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4420ベストアンサー獲得回数4082018/11/13 23:56:42

 極限状態のミクロの三角形を考えて、

三角形の2辺の長さの和は、他の1辺の長さより大きい。

http://physics.thick.jp/Mathematics_A/Section5/5-2.html

他3件のコメントを見る
id:rsc96074

そうなんですか。それにしても、見た目、そう変わらないのに、1近くも差が出るなんて不思議ですね。

2018/11/14 11:46:51
id:rsc96074

そもそも論になりますが、積分の曲線の長さの公式の導出では、Δs≒√{(Δx)^2+(Δy)^2}で近似するところを、その動画では、Δx+Δyで近似しようとしていて、ちょっと近似が粗すぎる気もします。(^_^;

2018/11/14 12:56:54
id:midbits No.4

まい回答回数3ベストアンサー獲得回数02018/11/14 13:08:02

数式や数学用語をなるべく用いずに大学数学ごっこをやってみる。とはいえ自信はないので、あまりアテにしないでほしい。

まず、あの折れ線l_1と円弧l_2は一致しなくはない。なぜこんな曖昧な言い方をするかというと、l_1の折れる数が増えるにつれて円弧に乗っている点の数が増えていき、最終的に可算無限個に到達する(際限なく近づく)からである。すなわち、l_1上にある可算無限個の点が、l_2の上に乗っているということになる。また、これらの点は稠密であるから、実数直線上にある有理数と似たような形をしている(同型という言葉が適切なのかは知らない)といえる。

ところで、証明は省くが、l_2は定義域において連続である。すなわち、l_2をあえて点の集合と考えると、l_2上にある点の数は非可算無限個、すなわち数直線上にある実数の数と似たような形をしているといえる。

これらをまとめて考えると、「l_1を無限に折ったとき、l_2と重なる部分は点の集合であり、それは実数直線上の有理数の個数とだいたい同じである」といえる。有理数は稠密だが連続ではないから、測度0(無いも同然だという意味)となる。別の角度から同じことを表現すると、非可算無限から可算無限を除いても非可算無限は変わらないということである。

ディリクレの関数を引き合いに出すならば、あれはリーマン積分不可能でありながら、ルベーグ積分可能である。この現象を説明するのによく使用される表現は「実数直線上にある数のほとんどは無理数だ」だが、これが加算と非可算の境界をよく示している。

話をまとめると、l_2に一致するl_1の部分はしょせん可算無限個の点でしかないので、決して非可算無限個の線的な一致はなし得ないということである。そして、その可算無限個の点は実質的に長さ0となる。もちろん、線的な一致ではないのでこれがl_2と同一視されることはない。

……というガバガバ理論(特に測度のところとか適当)を思いついたので書いた。ほかに距離空間の話をしても証明できそう?

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id:MIYADO

ちょっと訂正
点P1, P2, …の取り方で「稠密」を仮定するのはLを定義する前に要請します。
もっとも、要請しなくても非可算無限個の点の(円弧との)「一致」は間違いですが。

2018/11/15 15:40:36
id:MIYADO

上の訂正に伴ってもう1つ訂正

ここまで「位相」という概念は使っていません。

{Ln}からLを定義する際に「位相」という概念は使っていません。

2018/11/15 16:55:36
  • id:takejin
    これ、標的が円弧じゃなくてもいいわけで。
    対角線でも、カクカクの階段でも、ループしない曲線でも、長さ2にしちゃう。
    反対に、対角線と同じだから、二辺の合計が√2って言い張ることもできる。
  • id:Lhankor_Mhy
    いちおう、リンク置いておこう。
    http://originalnews.nico/148297
  • id:sibazyun
    長さ4の細ひもを、正方形の2辺にぴっちりと置く。これはできますね。
    この細ひもを折れ曲げ折れ曲げしていって円周(の1/4)に重ねてみます。
    実際の細ひもは幅があるので無理ですが、究極の細ひも(幅0)なら、
    最終的にじゃばら状にはなるが、円周に一致させることができます。

    こうすれば、本来の長さπの上に、長さ4だろうが、5だろうが、100万だろうが、
    ひもを置くことができます。

    よって、この問題提起者は「円周率は4」という微妙な数を出してきたから
    迷わされるのですが、この理屈を使えば、「円周率は100万」だろうと
    成り立ちます。
  • id:grankoyan2
    sibazyun様!
    こちらの説明が一番しっくりきました!
    コメントでいただきましたが、実質ベストアンサーです。
    幅0に限りなく近い(という言い方が適切かわかりませんが)紐の時点ではギザギザで(拡大してみると)見た目も長さ4で納得できる状態から、幅0になると、長さは短い側に関してはどうとでもなるということですよね。

    他の方もいろいろありがとうございました! 全然理解できてないものも多々ありますが、ご了承くださいませ。
  • id:uunfo
    「数式や数学用語をなるべく用いずに」とはいったい何だったのか

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