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数学の集合についての質問です。

集合論の本にはAとBを集合として、AとBが等しいとは、任意の対象xについて、x∈A⇒x∈Bであることと書かれていますが、このときその対象についての範囲は、あらかじめ決めているのでしょうか?。また、もし決まっているのだとすると、どのぐらいの範囲をとっているのですか?

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  • 登録:2019/01/28 18:42:23
  • 終了:2019/01/29 08:56:44

ベストアンサー

匿名回答2号 No.1

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2019/01/28 19:17:13

普通の数学では、全体集合があってその中で考えるものです。
全体集合は普通は、実数全体とか、複素数全体とか、n次元実ベクトル全体とかいった形になります。
全体集合ははっきり断ることもありますが、暗黙の了解とすることもあります。

ただし、公理的集合論では「なら、全体集合をどう定義するんだ」ということになってしまいますから、特に全体集合は定めません。

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匿名質問者

 後、全体集合については、物の集まりという認識で、それ以上のことは特に考慮しないというのが、普通の数学の態度だという理解で、正しいですか。

2019/01/28 20:37:22
匿名回答2号

> 以上のことを踏まえると、まず、大抵の集合の等号や、演算、包含関係などは、集合と言い切れる物が、まず存在して、それが必ず何らかの要素を含んでいるという仮定の下で、それを全体集合として、任意の対象などは、その全体集合を範囲に考えているものという理解で、正しいですか。

そういったところです。例えば、

A={x|e^x>1}
B={x|x>0}
のとき
A=B

のように書きますが、断っていなければ普通は不等式が出てくれば暗黙の前提として全体集合は実数です。ですからA, Bを定義する時点でこれらが実数全体の部分集合だということは暗黙の前提です。前提が異なればA=Bとは限らなくなります。


> 後、全体集合については、物の集まりという認識で、それ以上のことは特に考慮しないというのが、普通の数学の態度だという理解で、正しいですか。

全体集合に変なものを考え出すとまずいので市民権のあるものを考えるものです。そうすればその部分集合として上のA, Bのような一定の条件を満たすものを考えることができます。これが分出公理(リンク先参照)の普通の数学の実態に合わせた言い方になります。
https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96

2019/01/28 21:06:49
  • 匿名回答1号
    匿名回答1号 2019/01/28 18:56:12
    「任意」の受け止めかたに問題があるので、このような質問になるのでは?

    任意の、というのは、無作為に選んだどれかひとつ、という意味ではなく
    どれを選んでも、という意味なので。
  • 匿名質問者
    匿名質問者 2019/01/28 19:36:58
     そのどれも選んでもというのが、いまひとつピンとこないんですよね。
    ある特定の範囲の中での「任意の」なのか、対象として考えうるもの全ての中でという意味での「任意の」なのか
  • 匿名回答2号
    匿名回答2号 2019/01/28 20:03:23
    Xを全体集合として、
    A, B⊂Xという大前提があれば、

    (制限のない)任意の対象xについて、x∈A⇔x∈B

    x∈Xを満たす任意の対象xについて、x∈A⇔x∈B

    は同値です。普通の数学では後者でやるものです。
  • 匿名質問者
    匿名質問者 2019/01/28 23:00:12
    その全体集合についての、等号や、集合演算などを考えるときは、さらに大きな全体集合の存在を仮定するのですか。
  • 匿名回答2号
    匿名回答2号 2019/01/29 08:28:15
    その必要はありません。
  • 匿名質問者
    匿名質問者 2019/01/29 08:43:30
     でも、包含関係や、等号を考える際は、任意の対象をとってきてという議論が必要なので、その対象をとる範囲にはやはり何らかの制限を付ける必要がある気がします。
  • 匿名回答2号
    匿名回答2号 2019/01/29 08:48:01
    任意の対象と言っても全体集合の中という前提です。実数なら実数です。

    もっとも、証明の「手段として」外を考えることはあります。実数の性質を調べるのに一旦複素数に拡張するということはありますが、そういった場合でも最終結果は実数の世界です。
  • 匿名質問者
    匿名質問者 2019/01/29 08:52:51
     結局の所、集合の包含関係や統合について考えている際は、その集合がどんなものであれ、「任意の対象をとってきて、・・・」という文のその「任意の」は、ある種の範囲の制限があるという仮定の上での「任意の」ということですか。
  • 匿名回答2号
    匿名回答2号 2019/01/29 08:56:05
    普通の数学ではそうです。
  • 匿名質問者
    匿名質問者 2019/01/29 08:56:34
     やっと理解できました。有難うございます。

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