数IIIの積分の証明問題で理解できないところがあるので教えてください。


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∫[0,a/2]f(a-x)dx=∫[a/2,a]f(x)dx が成り立つことを証明せよ、という問題で。


∫[0,a/2]f(a-x)dxについてt=a-xで置換すると(ここは簡単なので省きます)、結果が


∫[0,a/2]f(a-x)dx=∫[a/2,a]f(t)dtとなってしまいます。


この場合、右辺の積分変数のtを勝手にxにして∫[a/2,a]f(x)dxとして証明終了にして大丈夫ですか?


そこがなかなか納得できなくて困っています、論理的に教えていただければ幸いです。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2019/04/24 22:59:43
  • 終了:2019/05/01 23:00:06

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4424ベストアンサー獲得回数4122019/04/25 09:01:40

 題意のf(x)の原始関数をF(x)とすると、
 ¥int_{¥frac{a}{2}}^{a}f(t)dt=F(a)-F(¥frac{a}{2})
 ¥int_{¥frac{a}{2}}^{a}f(x)dx=F(a)-F(¥frac{a}{2})
¥int_{¥frac{a}{2}}^{a}f(t)dt=¥int_{¥frac{a}{2}}^{a}f(x)dx
 3行かかなくても、最後の行だけでいいです。(^_^;
※参考URL
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14173459964
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10179901520

id:kyapppu

大変ありがとうございます。感謝を申し上げます。

2019/05/10 00:00:50

その他の回答(1件)

id:MIYADO No.1

みやど回答回数570ベストアンサー獲得回数1112019/04/25 08:04:01

それは変数をtで書くかxで書くかの違いに過ぎないので変えてかまいません。

1+2+…+nをΣk(k=1からn)と書こうがΣj(j=1からn)と書こうが一緒なのと同じことです。

ただし、∫[0,1]xtdtを∫[0,1]xxdxに置き換えるようなことをしてはいけません。積分をする際にxは定数なのに変数とごっちゃにしてはいけません。

id:MIYADO

付け加えると、グラフで考えれば定積分は符号を考えた面積ですから、横軸をtと名づけようとxと名づけようと面積は変わりありません。

2019/04/25 08:11:35
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4424ベストアンサー獲得回数4122019/04/25 09:01:40ここでベストアンサー

 題意のf(x)の原始関数をF(x)とすると、
 ¥int_{¥frac{a}{2}}^{a}f(t)dt=F(a)-F(¥frac{a}{2})
 ¥int_{¥frac{a}{2}}^{a}f(x)dx=F(a)-F(¥frac{a}{2})
¥int_{¥frac{a}{2}}^{a}f(t)dt=¥int_{¥frac{a}{2}}^{a}f(x)dx
 3行かかなくても、最後の行だけでいいです。(^_^;
※参考URL
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14173459964
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10179901520

id:kyapppu

大変ありがとうございます。感謝を申し上げます。

2019/05/10 00:00:50

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