y＝x^2とy=e^xが一様連続ではない理由を教えて下さい。お願いいたします。

f(x)=x^2とする。

これが一様連続だと仮定する。

すると、ε=1に対して、δ>0を適当に選ぶと、

任意のx, x’に対して、　|x’-x|<δ　ならば　|f(x’)-f(x)|<1

とできる。ここで、特にx’=x+δ/2とすると、|x’-x|=δ/2<δなので、|f(x’)-f(x)|<1も成り立つ。

fは微分可能なので、平均値の定理より、各xに対してθ (0<θ<1) があって
|f(x’)-f(x)|=|f’(x+θδ/2)||x’-x|=δf’(x+θδ/2)/2

ここで、左辺<1なのに右辺はx=1/δのとき|δf’(x+θδ/2)/2|=δ(x+θδ/2)>δx=1なので矛盾。

他も同様。