難しい（？）暗号の問題です

「基礎があれば分かる」「左側の数字に素数が多い」「3 is private」このあたりからRSA暗号が関係しているとアタリを付けます。

RSA暗号では
・秘密鍵は、2つの素数。
・公開鍵は、秘密鍵の積と、暗号化時の指数。
・(暗号化された数)=((元の数)^(暗号化時の指数)) % (秘密鍵の積)
・(元の数)=((暗号化された数)^(復号化時の指数)) % (秘密鍵の積)
・複合化時の指数は、公開鍵と秘密鍵から容易に計算可能。
・秘密鍵の積から秘密鍵を計算することは困難。
・(暗号化時の指数)*(複合化時の指数) - ((秘密鍵1つ目)-1)*((秘j密鍵2つ目)-1)*N = 1
です。

「Hint1: The private number should not be known, though it is not a secret itself.」から、3は秘密鍵それ自体ではなく、それを元に計算されるもの、つまり複合化時の指数なのではないかとアタリを付けます。

試しに→の右にある数を、いくつか3乗してみます。
さらに、その数字を秘密鍵の積で割った余りが、一番左の数字と等しくなるはずですので、逆に一番左の数字を引けば、秘密鍵の積で割り切れるようになります。

5 → 3 → 3^3 = 27 → 27-5 = 22
20 → 4 → 4^3 = 64 → 64-20 = 44
15 → 5 → 5^3 = 125 → 125-15 = 110
（以下略）

いずれも 22 で割り切れます。これが秘密鍵の積でしょう。
これを素因数分解すると秘密鍵が分かります。
2 と 11 です。

さらに、これらから暗号化時の指数を求めます。

(暗号化時の指数)*3 -(2-1)*(11-1)*N=1

これを満たす暗号化時の指数とNは無数にありますが、そのうちのもっとも小さいものは、N=2、暗号化時の指数=7 です。

問題文の左側の数字（＝平文）を 7 乗して、22 で割った余りを求めたものが、右側の数字（＝暗号文）です。
さらに、右側の数字（＝暗号文）を 3 乗して、22 で割ったあまりを求めたものが、左側の数字（＝平文）になります。

よって、
17→(17^3)%22 = 19
が答えです。

19を3乗して、22で割った余りを求めると、ちゃんと17に戻りますよ。

だそうです。

最後はタイポしてました。
17→(17^7)%22 = 19
でした。