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半径aの円に内接する正四角形、正五角形、・・・、正十角形があります。それぞれの多角形には対角線が複数本あり、また正六角形以上は対角線の長さも2種類以上あります。さて、それぞれの多角形における対角線の長さを教えてください。同じ多角形でも複数の長さのものが混在している場合は、それぞれの長さを教えてください。aを使った文字式でお願いします。どうぞよろしくお願い致します。(昨日似た様な質問をさせていただきましたが、再度お願いします。本当はじっくり考えてみたいのですが、他の仕事と掛け持ちで考えていまして・・・)

●質問者: yoshifuku
●カテゴリ:コンピュータ 学習・教育
✍キーワード:六角
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 12/12件

▽最新の回答へ

1 ● nesty
●10ポイント

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対角線の数を計算しました。

n角形の対角線の数は、n*(n-3)/2本となり、種類ごとに分けると1種類あたりn/2本(円の中心を通るもの)またはn*2/2本(それ以外)となります。

以上から、短い順に

6角形:6,3の計9

7角形:7,7の計14

8角形:8,8,4の計20

9角形:9,9,9の計27

10角形:10,10,10,5の計35

となります。


2 ● Wutugu0276
●10ポイント

http://www.google.co.jp/

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追加で解答します。

対角線の長さの種類は

n/2種類(nが偶数の時)

(n-1)/2種類(nが奇数の時)

となります。

正n角形の頂点をそれぞれ区別する場合、全種類の対角線はn本存在します。

(一つの頂点を選び、そこから左回りに一定の個数進んだ頂点と対角線を結ぶことを考えると理解が可能です)


3 ● 烏鹿(うろく)
●10ポイント

http://www.goo.ne.jp/

goo

URLはダミーです。

他の方が長さの方を出されたようですので、その追加質問の方を回答させて頂きます。

簡単に言うと、正n角形の対角線の各種類における本数は

n=偶数:(n/2)本、n本、n本......

n=奇数:n本、n本、n本......

となります。

まず各頂点から出る対角線の数ですが、これはnから”隣り合う頂点の数”と1を引いた数になります。

隣り合う頂点との線は『辺』ですし、1引いたのは基準として見ている頂点そのものをあわらしています。

つまり各頂点から(n-3)本の対角線が出ているわけです。

閑話休題。

n=偶数ではまずその正n角形を真っ二つに分断する線(円の中心を通る線)が一番長い線になります。

その数は各頂点から1本づつ。線は頂点と頂点を結ぶわけですから(n*1)/2=(n/2)本になります。

その次に長い線はというと、”円の中心から見て180度逆にある頂点の隣の点”と結んだ線になります。

これは各頂点から2本づつ出ていますので総数は(n*2)/2=n本という事になります。

それ以降は各頂点から同じ距離を持つ対角線は2本づつありますのでその総数はn本という事で収まります。

また、n=奇数では一番長い線は円の中心から点対称を取った時に一番近い頂点と結んだ線です。

この線は各頂点から2本づつ出ています。ですので総数はn本になります。

これ以降は偶数時と同じ考えになります。(n本)

nestyさんの回答の訂正になりますが、

nestyさんの回答では

『nが偶数のとき(n-2)/2種類、nが奇数のとき(n-1)/2種類あります。』

とありますが、正しくは

『正n角形の対角線の種類は偶数では(n-2)/2種類、奇数では(n-3)/2種類です。』

そうでないと正3角形で対角線が1種類ある事になりますよね?(笑)


4 ● YUYUKOALA
●10ポイント

http://www.google.ne.jp/

Google

正n角形の対角線は

(1)nが偶数のときは(n-2)/2種類あり、

それぞれの本数は

・最も長いものがn/2本,

・残りは各々n本

となります。

(2)nが奇数のときは(n-1)/2種類あり、

それぞれの本数はすべてn本となります。

これとこれまでの回答と併せてみると

求める回答になると思います。


5 ● ryokuma
●10ポイント

http://127.0.0.1/

URLはダミーです。

長さの種類はnestyさんの解答どうりで

Excel的に書きますと Int(n/2)-1 種類ですね。

で本数は、nが偶数なら、最長のものが1本で他はそれぞれ2本ずつ、nが奇数ならそれぞれ2本ずつですね。


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