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微分方程式初心者です。以下の2問を解きながらに微分方程式の解き方を教えてください。どちらか一問でもかまいませんが、両方の問題について納得出来次第締め切らせていただきます。

★d2y/dt2+dy/dt=sin(t) (”2”は二乗です)
(初期条件 t=0の時 y=0, dy/dt=0)

★dy/dx=(x-2y+2)/(2x-4y-1)

●質問者: crone
●カテゴリ:学習・教育 生活
✍キーワード:DT sin いただきます 初心者 微分方程式
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● aki73ix
●30ポイント

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/differential-eq/diff-eq10...

求積法

まず簡単な方から

x-2y=uとおきます

xで微分すると 1-2y’=du/dx

(2u-1)y’=(u+2)より

1-2(u+2)/(2u-1)=du/dx

1-(2u+4)/(2u-1)=1-(1+5/(2u-1)

-5/(2u-1)=du/dx

変数分離して

(2u-1)du=-5dx

∫(2u-1)du=-5∫dx+C

u^2-u=-5x+C

x-2y=uなので

(x-2y)^2-(x-2y)+5x=C

(x-2y)^2+4x+4y=C

となります

^2は2乗のことです

◎質問者からの返答

なんとか理解することができました。

aki73ixさんありがとうございます。

引き続き一問目の解答も募集します。

丁寧な説明大歓迎です。

よろしくお願いします。


2 ● 186
●45ポイント

http://d.hatena.ne.jp/keyword/%c8%f9%ca%ac%ca%fd%c4%f8%bc%b0

微分方程式とは - はてなダイアリー

y’’ = d^2y/dt^2 , y’ = dy/dtと表します。

y’’ + y’ = sin(t)……(i)

非斉次微分方程式なので、まず斉次微分方程式 y’’ + y’ = 0 ……(ii) を解きます。

特性方程式を考えるとλ^2 + λ = 0なので根は0,-1になります。

よって斉次微分方程式の一般解は

y= C_1 e^{-1*t} + C_2 e^{0*t}

= C_1 e^{-t} + C_2

となります。

非斉次微分方程式は(i)の特殊解と(ii)の一般解の和になるので、次に(i)の特殊解を求めます。

(i)の右辺がsin(t)なので、特殊解はy = a sin(t) + b cos(t)の形をしていると考えられます。実際に(i)に代入してみると、

(a - b) cos(t) - (a + b) sin(t) = sin(t)

よって

a = 1/2 , b = 1/2

となります。

よって

y = C_1 e^{-1*t} + C_2 + 1/2 ( sin(t) + cos(t))

です。

後は初期条件が二つあるのでC_1,C_2を決定します。

t=0の時、y=0なので、

0 = C_1 + C_2 + 1/2

t=0の時、y’=0なので、

0 = -C_1 + 1/2

これを解くと、C_1 = 1/2 , C_2 = -1を得ます。

以上より、

y = 1/2 (e^{-t} + sin(t) + cos(t) ) - 1

となります。

◎質問者からの返答

詳しい説明ありがとうございます。

これならできそう♪


3 ● uttori
●70ポイント

http://www.hatena.ne.jp/

はてな

URLはダミーです。

http://www.geocities.co.jp/HiTeens-Penguin/8478/mitei.jpg

http://www.geocities.co.jp/HiTeens-Penguin/8478/rapu.jpg

手書きで解答してみました。字が読みにくいのはご勘弁を。

一応、未定係数法とラプラス変換法の2種類で1問目をといてみました。

ただ説明不足だと思うので理解しにくいかもしれません。すみません。

◎質問者からの返答

こんなことまでしてもらっていいんですか?!

ちょっと感動しました。お手数かけてすみません。

3人の方ありがとうございました。

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