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微分方程式
y’=(y/x)log(y/x)
の求積
S {u・log(u)-u}^(-1)du=S x^(-1)・dx
で計算が合わなくなります。
答えは
y=xe^(cx+1)
また、なぜcが指数に編入されてしまったのでしょう?
この2点をもらさずに解説していただけませんか?

●質問者: crone
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:cx 微分方程式 指数 計算
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● exedexes
●5ポイント

http://www.hatena.ne.jp/1092667538

微分方程式 y’=(y/x)log(y/x) の求積 S {u・log(u)-u}^(-1)du=S x^(-1)・dx で計算が合わなくなります。 答えは y=xe^(cx+1) また、なぜcが指数に編入されてしまったので.. - 人力検索はてな

そのまま計算したら答えになりませんでした汗

追っかけてみましょう。

∫1/(ulogu-u)du=∫(1/x)dx ただしu=y/x

logu=Tとおいて置換積分

∫1/(T-1)dT=∫(1/x)dx

log(T-1)=logx+C

log(y/x-1)=log(cx)←C=logcと置いた※

y/x-1=exp(cx)

y=x(exp(cx)+1)

なぜcがついたかは※のような変換をしたからです。

んで上記の解答じゃないと微分方程式満たさないので正しいと思うんですが汗

◎質問者からの返答

回答ありがとうございます。

置換積分をすっかり忘れてました。

C=logcのところは納得です。

log(T-1)=logx+C

に対してT=loguを戻したところですが、T=y/xが代入されているように見えるのですが…

もう一度詳しくお願いできませんか?

解答の方でexp(cx+1)まで含まれているのはプリントミスですね、きっと


2 ● exedexes
●25ポイント

http://d.hatena.ne.jp/exedexes/

蟷螂の斧を振りかざせ

明らかに私、間違ってますな。んでお書きになっている解答じゃないと微分方程式を満たさない・・・お恥ずかしい・・・

途中から

log(T-1)=logx+C

log(logu-1)=log(cx)

logu-1=cx

logu=cx+1

u=exp(cx+1)

y/x=exp(cx+1)

y=x*exp(cx+1)

プリントの解答は合ってます!混乱させてしまって申し訳ない。

久々に微分方程式解いておもしろかったり。

ではでは

◎質問者からの返答

これなら納得です。

ここに数式打ち込むのってちょっと無理があるし、見にくいからしょうがないかな。

また質問の際はよろしくお願いします。


3 ● aki73ix
●35ポイント

http://www.hatena.ne.jp/

はてな

y/x=u とおきます

y=xu 移行して

dy/dx=u + x du/dx xで微分 (公式:f(x)=g(x)h(x)のとき f’(x)=g(x)h’(x)+g’(x)h(x))

y’=(y/x)log(y/x) 代入すると

u+xdu/dx=ulogu こうなります

xdu/dx=u(logu-1) 更に移行して

log u=v とおいて

dv/du=1/u uで微分

xdu/dx=u(logu-1) ここの式を変形

1/u(logu-1) du=1/x dx 変数分離

∫1/u(logu-1) du=∫1/x dx 移項して∫をつけて

∫1/(v-1)dv=∫1/x dx 代入します

log(v-1)=logx+C=logx+logC’=log C’x 積分を解きます

v-1=C’x 両辺のlogを取ります

log u -1=C’x 最初に代入した値を戻します

log(y/x)-1=C’x もう一度変形

log(y/x)=C’x+1 移項

y/x=exp(C’x)+1 logを取ります

y=x{exp(C’x+1)+1} 移項、答えです

2回代入してるのがポイントです

◎質問者からの返答

log u=v と置かなかったのが式が複雑になってしまった原因のようです。多分計算間違いもしてたに違いない・・・

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