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x^5=1
をできれば2通りの方法で解いてください。

●質問者: crone
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 7/7件

▽最新の回答へ

1 ● marlene7196
●1ポイント

http://www.fake.com/

FAKE LANDSCAPES - the artificial plant company

1.

x=(1)^(1/5)=1

2.

log (x^5)=5log x=log(1)=0

log x=0/5=0

∴x=10^0 = 1

◎質問者からの返答

造花、リアルですね

解は虚数も含めます。すべて求めてください

5つあるはずです


2 ● countdown
●10ポイント

http://www.hatena.ne.jp/1093096685#

x^5=1 をできれば2通りの方法で解いてください。 - 人力検索はてな

URLはダミーです

x^5=1…?

x=r(cosθ+(sinθ)i) (r,θは実数)とおく。

ここで?とド・モアブルの定理により

x^5=r^5(cos5θ+(sin5θ)i)=1(cos0+(sin0)i)=1

⇔r=1,5θ=2πkが成り立つ。(rとθは実数だから)

よって答えは

x=cos(2k/5)π+(sin(2k/5)π)i (K:任意の整数)

と言う感じで良いと思います。

ごめんなさい、二つは思いつきませんでした。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。x^5=e^(2nπi)と表す方法もありました。

解は

cos0°+isin0°= 1

cos72°+isin72°

cos144°+isin144°

cos216°+isin216°

cos288°+isin288°

ですね。cos72°=(-1+√5)/4以外に有理数に直せる三角関数はありますか?

ここまで書く必要はないんでしょうかね?


3 ● forget-me-not
●25ポイント

http://www.yahoo.co.jp/

Yahoo! JAPAN

?因数分解して

(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0

左辺よりx=1

右のカッコ内をx^2≠0に注意してx^2で割るとx^2+x+1+1/x+1/x^2=0となる。

これは相反方程式なので整理すると{(x+1/x)^2}-2+(x+1/x)+1=0

x^2+x=tとして整理するとt^2+t-1=0

因数分解してt=(-1±√5)/2となる。

x+1/x=tに戻して

x^2-((-1±√5)/2)x+1=0

2x^2-(-1±√5)x+2=0

再び解の公式に入れて x=[(-1+√5)±√(-10-2√5)]/4, [(-1-√5)±√(-10+2√5)]/4.

で, 2√5 < 10 だから, 虚数単位 i を用いると

x=[(-1±√5)±i√(10±2√5)]/4

(√5 の直前の複号だけ同順) となる。

?複素数平面で考える。

(この5個の解は半径1の単位円上に内接すし、点1をひとつの頂点とする正5角形の5つの解となることは明白だから、として図示すれば数学的には問題ないと思いますが。)

x=cosθ+isinθ とおく。

x^5=cos5θ+isin5θとなる。

cos5θ=1より、5θ=0+2nπ(nは整数)となるので

θ=0,72,144,216,288(ここだけ角度ラジアンじゃなくてごめんなさい)がそれぞれ解となる。

◎質問者からの返答

そうそう、この2通りです。複雑ですが他の三角関数の値も出ましたね。

ありがとうございます。


4 ● mradults
●20ポイント

http://www.hatena.ne.jp/dummy

1つめは、ド・モアブルを使った方法です。

高校で習うようなものですね。

r>=0として

x=r{cos(a)+i*sin(a)}

とすると、ド・モアブルの定理から

x^5=r^5{cos(5a)+i*sin(5a)}---(1)

となります。

x^5が1に等しいので、同じように書くと

x^5=cos(2π*n)+i*sin(2π*)---(2)

になります。(但しnは整数)

題意より(1)=(2)ですから、以上より

r=1

a=(2π*n)/5

となり、

x=cos((2π*n)/5)+i*sin((2π*n)/5)

(ただし、nは整数)

となります。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ferrari/ferrari.htm

4次方程式の解法

もう一個は、4次方程式の解の公式を使います。

x^5=1はx^5-1=0とかけ、これはさらに

(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0とかけます。

したがって、

x^4+x^3+x^2+x+1=0の解とx=1が求めるxになります。

あとは、4次方程式の解の公式(フェラーリ)を使って解ける・・・と思います。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。4次方程式にも解の公式ありましたか…

3次元もあるんでしょうね


5 ● konarukarof
●15ポイント

http://www.1101.com/

ほぼ日刊イトイ新聞

URLはダミーです。

解をAexp(it)、(A,tは実数)の形で求めるとすると

x^5=A^5exp(i5t)=1

両辺の大きさをとると

A^5exp(i5t)A^5exp(-i5t)=1

A^10=1

A=1

したがって

exp(i5t)=1

1=exp(i2nπ) (n=自然数)

なので

5t=2nπ

t=2nπ/5

n=6以上は同じなので

t=(0,2/5,4/5,6/5,8/5)π

x=exp(it) ただし、t=(0,2/5,4/5,6/5,8/5)π

t=0の時は自明の解1、それ以外は複素数解となります。

複素平面上では、単位円を1を含んで5等分するする5つの点となります。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。3種類出揃いましたね。


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