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ある周期関数f(x)を有限個のフーリエ級数で表せたとします,
この時,f(x)の逆関数を求める事は出来るでしょうか?
なるべく日本語,「詳細な証明」よりは「結論と簡潔な説明」を希望します.

●質問者: konkonkichi
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:フーリエ級数 希望 日本語 証明 逆関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● takasiym
●25ポイント

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A1%8C%E5%88%9...

関数行列 - Wikipedia

上記は関数行列に関するページです。

こんな感じでどうでしょうか?

結論:

関数f(x)の逆関数の有無はフーリエ級数が有限であるかどうかに依存しない。

説明:

逆関数の関数行列は元の関数の関数行列の逆行列であり、

かつ関数行列に対応する関数は一意的に決まります。

したがって、

逆関数は元の関数の関数行列の逆行列によってのみ規定されます。

よって、関数f(x)の逆関数の有無はフーリエ級数が有限であるかどうかには依存しません。

◎質問者からの返答

有難うございます.

えっと,すぐには理解できないので,解答の中身についてはじっくり吟味させて頂きます.

聞き方が拙かったので申し訳ないのですが,具体的な逆関数の求め方も教えて貰えると嬉しいです.

条件によっては解の取りうる範囲を制限しないと,一意に解が定まらないと思うのですが,そういうのの一般的な求め方とかを知りたいです.


2 ● takasiym
●25ポイント

http://homepage2.nifty.com/tomka/fourier1.html

フーリエ級数とは

上記はフーリエ級数に関するページです。

いえ、こちらこそ意図がくみ取れずすみません。

ではこちらはどうでしょう?

結論:

出来る。

逆関数をf(-1)(x)とすると、

f(-1)(x)=a_0+Σ(k=1 to n)(a_k*arccos(k*ω_0*x)+b_k*arcsin(k*ω_0*x))

(x_0:基本となる周期、ω_0=2π/x_0)

となる。

説明:

f(x)が有限のフーリエ級数で表せる場合、

f(x)は以下のように記述できます。

f(x)=a_0+Σ(k=1 to n)(a_k*cos(k*ω_0*x)+b_k*sin(k*ω_0*x))

但し、

x_0:基本となる周期、

ω_0=2π/x_0

とします。

# ”_”以下の数字及び変数は下付です。

関数f(x)は、

a_k*cos(k*ω_0*x) (0<=k<=n)・・・?

b_k*sin(k*ω_0*x) (0<=k<=n)・・・?

?、?の合成関数ですから、

f(x)の逆関数f(-1)(x)は、

a_k*cos(k*ω_0*x) (0<=k<=n)の逆関数・・・?

b_k*sin(k*ω_0*x) (0<=k<=n)の逆関数・・・?

?、?の合成関数で表すことが出来ます。

前回回答の原則論で行くと関数?、?の逆関数を求める場合、

関数行列得た後に逆行列を求め、

その逆行列から逆関数を導出しなければなりません。

# すみません。

# 実際このプロセスで三角関数の逆関数を求めるのは

# 至難の業だと思います。

# 僕も正直分かりません(汗。

しかし、三角関数の逆関数は自明ですから、

?は、a_k*arccos(k*ω_0*x) (0<=k<=n)

?は、b_k*arcsin(k*ω_0*x) (0<=k<=n)

となります。

したがって、有限のフーリエ級数で表せるf(x)の逆関数f(-1)(x)は、

f(-1)(x)=a_0+Σ(k=1 to n)(a_k*arccos(k*ω_0*x)+b_k*arcsin(k*ω_0*x))

と表すことが出来ます。

以上宜しくお願いします。

◎質問者からの返答

お返事遅くなってすみません.

勘違いだったらすみませんが,疑問点を2つ.

○一般に”f(x)+g(x)”の逆関数は”f(-1)(x)+g(-1)(x)”が成立つのか?

○教えて戴いた結論が正しいとして,”arcsin(n*ω_0*x))”は-π〜π中に複数の解を持つが,この取り扱いはどうすればいいのか?

よろしくお願いいたします.

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