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9という数字についてお知恵を拝借致したいと思います。

例えば、
96-69=27 2+7=9
や、
極端に言えば、
987654321-123456789=864197532 8+6+4+1+9+7+5+3+2=45 4+5=9

と、いった具合に、順番を入れ替えた数字を加減するとどうしても9になるのは何故ですか?

数学に疎い人間にも解るように説明して頂ければと思います。

●質問者: genzaburou
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:人間 数字 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 6/6件

▽最新の回答へ

1 ● siigimaru
●15ポイント

http://www.hokuriku.ne.jp/fukiyo/math-obe/hosuu.htm

サイト移転のご案内 - 12 さんすう 34 数学 5 Go!

基本的に、補数の概念です。

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。

しかし、よくわかりません。


2 ● auctiondiary
●15ポイント

http://d.hatena.ne.jp/auctiondiary/

S15 シルビア チューニング&メンテ日記

足していけばすべて3の倍数になっている気が。。。

123456789という数があります。これが3の倍数か調べるには1+2+3+4+5+6+7+8+9が3の倍数か調べればOKなんです。この場合は45で3*15になりますね。

他も適当にやってみると

849153162の場合は足すと39ですので3*13で3の倍数です。

逆に言えば3の倍数から3の倍数を引いたら残りは3の倍数になります。

3×■-3×○=3×(■-○)になるので結局3の倍数ですし。


3 ● sami624
●15ポイント

http://homepage3.nifty.com/sami624/index.html~030915

波乗り三昧

23→2×10+3

よってABという2桁の数字があった場合、

A×10+Bとなります。

入れ替えた数値はB×10+A

よってAB-BAは10A+B-10B-A=9A-9B=9×(A-B)となり9で割れる。

同様にしてABC-CBA=999A-999C=9×111×(A-C)となり9で割れます。

こういうことです。


4 ● aska186
●15ポイント

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/2061/child/baisu.html

豆知識(倍数早見法)

上記ページのように、「各桁の数字の和が9の倍数ならば、その数は9の倍数」になります。もう少し言えば一般に「各桁の数字の和は、その数を9で割った余り」を示します(※和が2桁以上になれば、さらにその各桁を加える)。

さて、「順番を入れ替えた数字を加減する」と「9になる」というのは「9で割り切れる」ということに他ならないですよね。これが示したい命題ですが……

「各桁の数字の和は、その数を9で割った余り」なので、順番を入れ替えた数字どうしは9で割った余りが同じになります。したがって、それらの差は9で割り切れるはずです。

p.s.申し訳ないですが、auctiondiary さんの回答(3で割り切れる)では証明の材料としては不十分です。


5 ● tunehisa
●15ポイント

http://www5e.biglobe.ne.jp/~entar/mathboy_wspr5.html

「九去法」をご存知でしょうか?上のページに証明が載っています。

この九去法を使うと、簡単に説明出来ます。

九去法によれば、”順番を入れ替えた”2つの数を9で割った余りは完全に一致します。

従って、この2数で引き算をすれば、余りの部分は相殺されてしまうので、

その答えは必ず9の倍数になります。

ところで、九去法で9で割り切れるということは、

最後に残る数字が0または9ということです。

しかし、各桁の数字を足していったのですから、0はありえません。

(途中で負数は出て来ませんから)

結果、ご質問のケースでは、最後に必ず9になります。


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