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複素数(-i)^iの
実部
虚部
絶対値
偏角
を求め、数値を示してください。
よろしくお願い致します

●質問者: gurugurucafe
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:偏角 絶対値 複素数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● SevenS
●28ポイント

http://www.tij.co.jp/

日本テキサス・インスツルメンツ - アナログICとDSP(デジタル・シグナル・プロセッサ)を中核とするトータル・ソリューションをグローバルに提供

TI社のTI-89で計算したら、exp(-PI/2)という答えが出ました。

実部: exp(-PI/2)

虚部: 0

絶対値: exp(-PI/2)

偏角: 0[rad]

です。ただ、僕自身では展開できたわけではないのでなんともはや(-。?;)

◎質問者からの返答

面白いシステムがあるのですね〜

ありがとうございます


2 ● ryukun
●28ポイント

http://www.hatena.ne.jp/1122559489#

人力検索はてな - 複素数(-i)^iの 実部 虚部 絶対値 偏角 を求め、数値を示してください。 よろしくお願い致します

(-i)^i

=e^(i*log (-i))

=e^(i*(3π/2+2nπ)i)

=e^(-(2n+3/2)π)


ですので複素数(-i)^iは

無限多価関数となります。

つまり値は一つに定まらないので

実部等は求まらないはずですが・・・


ちなみに2行目から3行目への公式は

z=r*e^(iθ)

のとき

a log z=a log r+iaθ+2naπi

に拠ります。

◎質問者からの返答

確かに虚部が無いので実部はありませんね。

私もe^(-(2n+3/2)π)までの計算は出来たのですが、各々の具体的数値の出し方がいまいち分かりませんでした。


3 ● debedebe
●27ポイント

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun52.htm

投稿52

a^bはaのb乗です。


オイラーの恒等式

e^(iθ)=cosθ+i・sinθ

を用いれば、数学における5つの中心的な数が結びつく。すなわち、

e^(iπ)+1=0

同様にして、

(-1=e^(πi)の両辺の平方を取ってやります。)

i=e^(i(π/2))

が得られる。

この式に対して形式的に、

両辺をi乗してやります。

((a^b)^cはa^(b*c)ですから、)

i^i=e^(?π/2) と計算してみる。

ということで、これは、実数なんですね。


さて。ご質問の(-i)^iですが、これは(-i)が1/iであることに目をつければ、答えは簡単、

(1/i)^i=1/(i^i)となります。

ページに書いてある通り

i^i=e^(?π/2+2nπ) (但し、n は、整数)となるので、n=0の時を特に考えるのであれば、

実部=絶対値=e^(π/2)

虚部=0 偏角=0ではないでしょうか。

◎質問者からの返答

最後の方はi^i乗の答えでしょうか

出来れば結論として(-i)^iの解答を示していただきたいのですが・・・

ちなみにnについては(n=0,±1,±2・・・)のように示していただいても構いません。


4 ● SevenS
●27ポイント

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=i%5Ei&btnG=Google...

Google

一応実数として表示されてます。

http://yosshy.sansu.org/complex.htm

複素数と複素数平面

ここのサイトの一番下に、複素数の複素数乗の計算方法がありました。

i^i = (exp(i*PI/2))^i

= exp(i*PI/2*i)

= exp(-PI/2)

ということで、やはり実数値になるようです。

◎質問者からの返答

これまでの解答を吟味した結果

虚部、偏角=0

絶対値、実部=e^(-1/2)π (n=0の場合)

ということでよろしいのでしょうか?

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