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無限より大きい無限とは!?

以前「自然数より無理数の方が大きい集合である」ということをどこかで見た気がするのです。
そこで疑問に思ったのですが、
A「自然数を全て足した」のと、
B「0以上1未満の数を全て足した」のでは
どちらの方が大きいと言えるのでしょうか?

A 1+2+3+・・・+9999999+・・・=+∞
B 0.1+0.2+0.3+・・・+0.999・・・+限りなく1に近い数+・・・=+∞?
どちらも無限回足すのですから、最終的には(最終があるのかどうか・・・)+∞になりそうな気がします。
感覚的にはAの方が大きい気がするのですが、私はBの方が大きいのではないかと思ってますが、どうなのでしょう?どちらも+∞で同じと考えるべきなのでしょうか?
?A、Bのどちらが大きいのか、もしくは同じなのか?
? ?の結論はなぜそうなのか?
教えてください!

●質問者: omomukin
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:感覚 無理数 無限 自然数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 11/11件

▽最新の回答へ

1 ● reply
●21ポイント

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/techterm/aleph.html

アレフ

答えではありませんが、こちらから導き出してみましょう。(^^)

◎質問者からの返答

>

無限個の要素を持つ集合について同じことを考えると, 一番「小さい」無限の数 (= 濃度) は自然数 (正の整数 1, 2, 3, 4, ... の全部) の集合の濃度でそれを À0 という記号で表す。 (そしてアレフゼロと読む)

実は, 整数 (自然数に 0 と負の整数 -1, -2, -3, ... を加えたもの) も自然数と同じ濃度であり有理数 (整数分の整数という形をした分数全体) も自然数と同じ濃度であることが証明できる。

ところが実数 (数直線上にのっている数の総て) は Cantor が 「対角線論法 diagonal method」 という有名な方法を用いて自然数の集合の濃度よりは大きいことを示した。この濃度を À という記号で表す。

実数の方が「濃度」が大きいのですか。

でも、「なぜ」大きいのですかね?


2 ● iwskR
●21ポイント

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/2061/child/mugen/

大学の数学へのいざない(無限について)

http://encyclopedie-ja.snyke.com/articles/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%...

カントールの対角線論法

「自然数の集合より実数の集合の方が濃度が大きい」

ということの証明には、カントールの対角線論法を使います。

「対角線論法」で検索をかけると色々と出てくると思いますが、たとえばこちらを参照してみてください。


-------

ある無限とある無限のどちらの方が「大きいか?」という比較は出来ません。

無限というのは、自然数のように大きさを比較できるような『数』を指すものではないからです。

◎質問者からの返答

>「自然数の集合より実数の集合の方が濃度が大きい」

>ある無限とある無限のどちらの方が「大きいか?」という比較は出来ません。

>無限というのは、自然数のように大きさを比較できるような『数』を指すものではないからです。

ということは、集合としては実数の方が濃度が大きいが、無限同士の大きさを比べる事はできないってことですかね。


3 ● aceto
●21ポイント

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=31937

[教えて!goo] ごめんなさい!! また「無限」です。

ここの回答No5の後半に上の質問に対する答えが説明されております。


??これは最初の仮定:「もし、0と1の間の実数の個数が自然数と同じアレフ0であるならば」が間違っていた、という事です。だから、0と1の間の実数の個数はアレフ0よりも多いことが分かります。これが対角線論法。??


>実数の方が「濃度」が大きいのですか。

でも、「なぜ」大きいのですかね?


実数の方が個数が多い→濃度が大きい

だと思います。


また、対角線論法は実数の個数がアレフ0より多い事を証明するのに使うものらしいです。

◎質問者からの返答

対応付けができれば濃度が同じで、どっちかがあまったら余ったほうが濃度が大きいということは理解できました。

で、対角線論法というのを使って自然数と無限小数のどちらが濃度が大きいかということまでは、なんとなくわかった気がします。

ペアを組めないものを無理やり作り出す、仲間はずれ論法なんですね?


4 ● edacrow
●21ポイント

http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%CC%B5%B8%C2%C2%E7&...

国語辞典 英和辞典 和英辞典 - goo 辞書

http://www.marguerite-site.com/Nihongo/Math/Infinity.html

???w????b???E??(??????)???B

Bが無限大かどうかは判りませんがAと同じかBの方が小さいかのどちらかです。

Aの方が小さいことはまずありません。


Aは無限大です。

数学的にいえば「「a=∞」とは、

任意のx>0に対して「a>x」となる数。

」ということです。任意のxとはどんな数

のxでも当てはまるxのことです。

判りやすく説明するとURLにもあるとおり無限大の定義は

「変数の絶対値がどんな正数よりも大きくなること。」

です。

大きいという事柄そのものを指すのです。AよりもBの方が大きいことはありません。なぜならAはなによりも大きいからです。

もしBの方が大きいと無限大の定義に矛盾します。


Bの一部(部分集合)が無限大になることを証明できればBも無限大だと思います。

おそらく無限大です。

ここまでしか判りませんがとりあえずコメントしておきます。

http://stardustcrown.com/reading/1-0_999999.html

1=0.999999……? @ Stardust Crown

蛇足かもしれませんが最後にひとつ。

わかった上で書かれているのかもしれませんが0.9999・・・は1と全く寸分違いなく等しい値です。

ここのURLの下にも書いてありますがそれが実数の定義だからです。

この辺の話も面白いですし、参考になると思います。

◎質問者からの返答

うーん、Aの大きいのでしょうか・・・。

でも、「濃度」的に言えばBの方が濃度が大きいのでは?

一対一対応をさせていくとなると、最初はAの方がそれぞれの数値的には大きいわけですよね。

でも、対角線論法を使えばいくらでもAより人員を導入することができるわけですよね?

あと、AもBも+∞になるわけのですよね、多分?

二人の言い分を聞くならば・・・

A「俺は無限だぜ!だれよりも絶対値が大きいんだぜ!」

B「はぁ?オレも∞だよ?俺こそがダレよりも大きいんだ。」

ということにならないですかね?


5 ● mayiu
●21ポイント

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90

無限 - Wikipedia

無限回足すという事は難しいので,まずは適当な自然数 n(≠∞)を持ってきて

n 回足すことを考えます.

すると A は


Σ k=1 から n まで k


と書けます.これを SA_n とします.

また,B は, 0 から 1 までの区間を n 分割して足すということにすると,


Σ k=1 から n まで k/n


と書けます.これを SB_n とします.


SB_n を書き換えると


SB_n = 1/n Σ k=1 から n まで k

= 1/n SA_n


となるので,n が有限であれば明らかに SB_n < SA_n であり,

A の方が 大きいと言えます.


ここで,n を∞にすることを考えますが,

∞というのは定まった数ではないので,n = ∞ とすることは出来ません.

私たちには n を ∞ に近づけることしかできないのです.

これを


n → ∞


と書きます.


このようにして n を∞に近づけると,SA_n と SB_n も同様に∞に近づいていきます.

よって n → ∞ のとき,


SA_n → ∞,

SB_n → ∞


です.(決して SA_n = ∞ ではない)


この状態では,数の大きい小さいを言うことはできません.

なぜなら,どちらも値が定まっているわけではないからです.


n が有限の時には SB_n < SA_n であり,

いくら n が大きくなってもこの関係は成り立っています.

ところが,∞という状態を持ち出してくるととたんに,

値は定まらなくなり,どちらが大きいということもいえなくなります.

◎質問者からの返答

ははぁ。なんとなくわかってきました。

>n が有限であれば明らかに SB_n < SA_n であり,

A の方が 大きいと言えます.

>ところが,∞という状態を持ち出してくるととたんに,

値は定まらなくなり,どちらが大きいということもいえなくなります

なんか悔しいのですが、∞同士の値の大小を比較できないんですかね。


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