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●質問者: omomukin
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:感覚 無理数 無限 自然数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 11/11件

▽最新の回答へ

6 ● HARU_in_sheep
●21ポイント

http://bookweb.kinokuniya.co.jp/htm/4150500282.html

次元がいっぱい: 紀伊國屋書店BookWeb

回答1に対するコメント内に提示された質問に対して回答を試みますね。


まずアジモフ科学エッセイ「次元がいっぱい」をお勧めします。「無限あれこれ」の章で同様の話題を解説しています。大きな数字マニアのアジモフ博士ですから、実に楽しそうに「∞」の解説をしています。以下自分なりに理解した内容を書きます。


有理数=∞

では

実数=有理数+無理数>∞なのか?


∞+∞=∞なので有理数+無理数=∞じゃないのか!と思いがちです。


ここで、「∞」はあくまで整数や有理数上のルールで「1、2、3・・・∞と終り無く続く状態」を表す言葉であり、無理数はその埒外にある事を思い出すべきです。野球のルールでサッカーの判定は出来ないのです。


無理数の数列≠「∞」

よって

実数=有理数+無理数=「∞」の集合体+「∞」と違うルール上に無数に存在する集合体>∞


実数を点で表した場合、その無数の点は連なる直線に見えるはずです。


実数=C(コンティニュアムのC)


その直線上に有理数の点の全てがあり、それ以外にも無理数の点が存在しているのですから、実数の方が∞よりもより濃く無限なのです。


その有理数の点と点の間に必ず無理数の点がある事は証明されています。これが「必ず複数の」点が存在すると証明されれば、


自然数=∞<無理数


となるのですが、まだ証明されていません。


また、カントールの予想として、有理数=∞=A0(アレフ・ヌル)ならば、


C=有理数+無理数=∞の∞乗=A1(アレフ・1)


とされていますが、これも証明されていません。


余談として、A1は無限の直線(無限の点)でした。またカントールはA2=A1のA1乗にも言及していて、これは無限の曲線だと予想しています。A3以上に関してはどんなモノなのか未だに誰も予想していません。フロインドはその著作で「A3以上の無限は我々の想像力を超えている」と云っています。

◎質問者からの返答

無限の話をしていたのに次元の話が出てくるとは驚きです。

自然数=∞<無理数は証明されていないのですか?

対角線論法で証明できているわけではないのですか?

>C=有理数+無理数=∞の∞乗=A1(アレフ・1)

「∞の∞乗ってどれだけ大きいんだよー!!」って叫びたいです。(笑)


7 ● akionro
●21ポイント

http://www.hatena.ne.jp/

はてな

URLは適当です

どちらも同じ大きさです。

Aの方がBよりも「変化が急速」なだけで、どちらも果てはありません。


二次関数のグラフを思い出してみるといいでしょう。

例えばy=x^2とy=3x^2のグラフを比較すると、変化の割合は後者の方が大きいです。

しかしどちらも果てしなく大きくなってしまい、最終的には変わりません。

◎質問者からの返答

変化が急速!!

・・・でもこの場合、↓こうすると

lim 3x^2/x^2

x→∞

これ、3ですね。

果てしなく大きくなっていっても、この場合は3x^2の方が大きいですね。

lim x^3/x^2=+∞

x→∞

(あってます?かなり昔の事で記憶がややアヤシイので・・・)

こんな感じでA,Bの大小比較ができるのでは!?

(Σ自然数)/(Σ0以上1未満の無理数)

・・・数式がかなりおかしいですね。

というか式を作る事はできるのか?

また、わからなくなってきた・・・。


8 ● akionro
●21ポイント

http://d.hatena.ne.jp/

はてなダイアリー - キーワードでつながる多機能ブログ

もう一つ。実数の方が整数よりも濃度が高い理由です。

整数を作るには+1または?1を続ければいいです。

しかし、実数は分割するわけですから整数よりも多く作れそうです。

例えば1を10個に分割して0.1、0.1を10個に分割して0.01・・・。

もちろん最終的にはどちらも無限になってしまうわけですけど。

◎質問者からの返答

>実数は分割するわけですから整数よりも多く作れそうです。

そうですね。そう思います。

やはり変化の度合いが重要なのでしょうか。


9 ● Kanemori
●21ポイント

http://d.yahoo.co.jp/

URLはダミーです。

?は対角線論法による有名な証明でB。

?極めてアバウトな言い方ですが、幾何を念頭に考えればわかりやすいのではないでしょうか。

自然数は中学校で習う平面幾何以前の世界の数です。

無理数は平面幾何を学んで世界が広がってはじめて意味が理解できます。脳の使うレベルがあがったので無限のレベルも上がったと考えるのは自然では。

大体こんな答えでいいでしょうか?

◎質問者からの返答

>自然数は中学校で習う平面幾何以前の世界の数です。

>無理数は平面幾何を学んで世界が広がってはじめて意味が理解できます。脳の使うレベルがあがったので無限のレベルも上がったと考えるのは自然では。

自然数 リンゴ一個、二個、三個

無理数 長さ1の直角二等辺三角形の斜辺の長さ(√2)

ということですね。

√2という長さは存在していますよね。

でも√2という個数は存在しているのでしょうか?

平方を考えないと無理数を発生させる事はできないのか?

本題からずれてきた感が・・・。


10 ● kamisama
●21ポイント

http://www.hatena.ne.jp/1126291686#

人力検索はてな - 無限より大きい無限とは!? 以前「自然数より無理数の方が大きい集合である」ということをどこかで見た気がするのです。 そこで疑問に思ったのですが、 A「自然数を全て足..

Bの数列の規則性が良くわからないけど、

無限個足すから無限大と言うのは誤りです。

例えば、

1+1/2+1/4+1/8+・・・・・+1/2^∞

2

です。

◎質問者からの返答

そうですね。Bの定義があいまいといえばあいまいですね。

これをどうにかできれば!


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