人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

確率の問題です。
確率計算に自信が無い方、解答に自信の無い方は回答しないで下さい。
答えだけでなく、その計算手順を明記して下さい。
一番早く解答を出せた方にポイントを差し上げようと思います。
サイトに法則みたいなのもありますが、5×5でFREEのものが多いです。
[問題]
3×3のマスに1〜15の数字の中から好きな数字9個を入れます。
真ん中はFREEではありません。
同じ数字は2度使えません。
ランダムに数字を抽選して
3回目でタテ、ヨコ、ナナメのどれかが揃う確率
4回目でタテ、ヨコ、ナナメのどれかが揃う確率
5回目でタテ、ヨコ、ナナメのどれかが「初めて」揃う確率
6回目でタテ、ヨコ、ナナメのどれかが「初めて」揃う確率
の四つを求めて下さい。
なお、5回目ではダブルビンゴ、
6回目ではダブルビンゴ、トリプルビンゴの可能性がありますので
これらは含めません。

●質問者: room_of_brian
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:サイト ダブル トリプル ナナメ ビンゴ
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● わかん
●3ポイント

http://www.dummy.com/

Dummy at Dummy.com - Don't be a Dummy! Get the Right Business Executive Gifts and Employee Gifts

ポイント不要です。

このままでは誰も答えられないと思いますので、追加の説明をお願いします。


「どれかが揃う」とは、どういう状態になればいいのでしょうか。


だって「同じ数字は2度使えません」という条件では、

縦・横・斜めのいずれかで同じ数字がそろうのはあり得ない、

となってしまうんですから。

じゃ、何がそろえればいいのか、が不明なままです。

◎質問者からの返答

ビンゴになる確率です。

数字を111と揃わせるのではなく、

4→13→8→12→9→1

と抽選したとして

作成したカードが

11,7,1

2,8,6

4,15,13

としたら6回目でビンゴということです。

このビンゴになる確率を求めています。


2 ● T-pon
●30ポイント

http://www.kakaku.com/

【価格.com】 賢者の買物 - 価格比較・クチコミ・レビュー

3回目で揃う確率

3回ではどれか1列のみが揃う。この列のとり方は縱3横3斜2の8通り。

揃う列を固定して考えるとその列の3つが当たる確率は{(1/15)^3}*(3!)

したがって{(1/15)^3}*(3!)*8=(2^4)/{(3^2)*(5^3)}=16/1125 ■


4回目で揃う確率

3回目に1列揃っている状態からは確率1で4回目に1列揃っている状態へ移行することに留意すると、

(4回目で1列揃う確率)=(4回目終了時に1列揃っている確率)ー(3回目終了時で既に1列揃っている確率)

4回目終了時に1列揃っている確率を求める。チェックされるマスのとり方は、(1列に並ぶ3マスのとり方)*(残る1マスのとり方)と考えて8*6=48通り。

従って(4回目終了時に1列揃っている確率)={(1/15)^4}*(4!)*48=(2^7)/{(3^2)*(5^4)}=128/5625

よって

128/5625 ー 16/1125 = 48/5625 = 16/1875■


5回目で初めて1列「のみ」が揃う確率は後に回して6回目で初めて1列「のみ」が揃う確率を求めます。

(6回目で初めてちょうど1列揃う確率)=(5回目終了時に1列も揃わない確率)*(その次の抽選でちょうど1列揃う確率)

ビンゴを1列も作らずに5マスを埋める方法は地道に数えると、センターを埋める方法が2^4=16通り、センターを空ける方法はさらに四隅をうちいくつの隅を埋めるかに分けて考え、4隅埋めることは不可能、3隅埋める方法が4通り、2隅埋める方法が10通り、1隅埋める方法が4通りあるので計18通り、すべて足して34通りあります。


したがって(5回目終了時に1列も揃わない確率)={(1/15)^5}*(5!)*34


夜遅くなったのでここで中断します。

せっかくここまで書いたので送ります。(しかも計算用紙を使ってないw)

時間があったらまた書き込みなおします。

◎質問者からの返答

3,4回目は自分もそうなったので正解だと思います。やり方はあってると思います。

この解答なら期待できそうなのでがんばってください。


3 ● souju
●40ポイント

http://www.yahoo.co.jp/

Yahoo! JAPAN

1 3回目で揃う確率

3回目では最大で3マスが埋まり,3マスとも埋まったときにようやく1列(のみ)揃う可能性が発生する。

3マス×3マスのビンゴにおいて1列が揃うのは,列に着目して数えると8通り(タテ3通り,ヨコ3通り,ナナメ2通り)。

ただマスに入る順番は問わないので,実際にはこれに3!(=6)を掛ける必要がある。

従って48通り。

他方,分母の方は,問題文が不明確なため問題がある。

T-ponさんのように2回目以降も1?15までの数すべてを抽選の対象にするのか(この場合ビンゴで言うと,一回抽選した球を戻して2回目の抽選を行う。),それとも問題文には明示されていないが通常のビンゴのように抽選済みの球をはずした14個(1回目に「1」の球が抽選されたなら1をはずした2?15までの14個)から選ぶのかがはっきりしない。

そこで,場合分けをすることとする。

(1) 抽選した球を戻す場合

分母は15^3

求めるべき確率は=8*6/(15^3)=16/1125


(2) 抽選した球を戻さない場合

分母は15*14*13

求めるべき確率は=8*6/(15*14*13)=8/455


2 4回目で初めて揃う確率

4回目では最大で4マスが埋まる。ただし3マスでもビンゴになりうる点に留意が必要である(1回外れを引いてその他3回でタテかヨコかナナメにそろうことを考慮する必要がある。)。

そして,3回目に1列揃っている状態からは確率1で4回目に1列揃っている状態になることから,

(4回目で初めて1列揃う確率)=(4回目終了時に1列揃っている確率)-(3回目終了時で既に1列揃っている確率)

4回目終了時に1列揃っている確率を求める。

チェックされるマスの取り方は,(1列に並ぶ3マスの取り方)*(もう1個の数字の行方)と考えて8*12=96通り。マスに入る順番は問わないので,実際にはこれに4!(=24)を掛ける必要がある。

ここで場合分けをする。

(1) 抽選した球を戻す場合

分母は15^4

4回目終了時に1列揃っている確率は96*24/(15^4)=256/5625

求めるべき確率は256/5625-16/1125=176/5625


(2) 抽選した球を戻さない場合

分母は15*14*13*12

4回目終了時に1列揃っている確率は96*24/(15*14*13*12)=32/455

求めるべき確率は32/455-8/455=24/455


3 5回目で初めて1列揃う確率

5回目では最大で5マスが埋まり,ダブルビンゴ状態が存在する。4回目で1列が揃っている場合にもう1マス埋まるとダブルビンゴになりうることを考慮に入れると,

(5回目で初めて1列揃う確率)=(5回目終了時に1列以上揃っている確率)-(4回目終了時に1列揃っている確率)

となる。

5回目終了時に1列以上揃っている確率は,3マス埋まっているとき,4マス埋まっているとき,5マス埋まっているときのそれぞれを考慮して計算する必要がある。


とりあえず休憩。ここから先は作業量が膨大になるので,分母の問題について質問者の応答を待ってからにします。

しかし,美しい解き方ではないですね…

◎質問者からの返答

すいませんでした。

抽選した球は戻さないのが条件です。

頭になかったです。そーか、ちょっと自分も算出します。続きよろしくお願いします。


4 ● souju
●60ポイント

http://www.yahoo.co.jp##/

Yahoo! JAPAN

上記回答の続きです。

なお抽選した球は戻さないものとします。


3 5回目で初めて1列揃う確率

5回目では最大で5マスが埋まり,ダブルビンゴ状態が存在する。4回目で1列が揃っている場合にもう1マス埋まるとダブルビンゴになりうることを考慮に入れると,

(5回目で初めて1列揃う確率)=(5回目終了時に1列以上揃っている確率)-(4回目終了時に1列揃っている確率)

となる。

5回目終了時に1列以上揃っている確率は,3マス埋まっているとき,4マス埋まっているとき,5マス埋まっているときのそれぞれを考慮して計算する必要がある。


(1) ビンゴのマスが3マスのみ埋まり,ビンゴが完成する組み合わせの数

ビンゴのマス内の組み合わせは8通り。

マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが15通り(6*5/(2*1))。

数字を取り出す順番を考慮すると,8*15*5!通り


(2) ビンゴのマスが4マスのみ埋まり,ビンゴが完成する組み合わせの数

ビンゴのマス組み合わせが8*6通り。

マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが6通り。

数字を取り出す順番を考慮すると,8*6*6*5!通り


(3) ビンゴのマスが5マスちょうど埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数

まず3マスビンゴになるように並べる組み合わせは8通り。

埋まっていないマスから2マス選ぶ組み合わせは15通り(6*5/(2*1))。

これらを単純に掛け合わせるとダブルビンゴをダブって評価してしまうので,ダブルビンゴの組み合わせを数えて引かなければならない。

そこでダブルビンゴの組み合わせの数を数える。

タテとヨコの組み合わせが9通り,タテとナナメの組み合わせが6通り,ヨコとナナメの組み合わせが6通り,ナナメ同士の組み合わせが1通りなので,ダブルビンゴの組み合わせは22通り。

したがって,ビンゴのマスが5マスちょうど埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数は,数字を取り出す順番を考慮すると,(8*15-22)*5!通り


(4) したがって5回目でビンゴが1列以上完成する組み合わせは,

8*15*5!+8*6*6*5!+(8*15-22)*5!=(120+288+98)*5!=506*5!通り


(5) 5回目でビンゴが1列以上完成する確率は,

(506*5!)/(15*14*13*12*11)=46/273


(6) 求めるべき確率は,

46/273-32/455=134/1365


3 6回目で初めて1列揃う確率

6回目では最大で6マスが埋まり,ダブルビンゴ・トリプルビンゴ状態が存在する。5回目で1列以上揃っている場合にもう1マス埋まるとダブルビンゴ・トリプルビンゴになりうることを考慮に入れると,

(6回目で初めて1列揃う確率)=(6回目終了時に1列以上揃っている確率)-(5回目終了時に1列以上揃っている確率)

となる。


6回目終了時に1列以上揃っている確率は,3マス埋まっているとき,4マス埋まっているとき,5マス埋まっているとき,6マス埋まっているときのそれぞれを考慮して計算する必要がある。


(1) ビンゴのマスが3マスのみ埋まり,ビンゴが完成する組み合わせの数

ビンゴのマス内の組み合わせは8通り。

マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが20通り(6*5*4/(3*2*1))。

数字を取り出す順番を考慮すると,8*20*6!通り


(2) ビンゴのマスが4マスのみ埋まり,ビンゴが完成する組み合わせの数

ビンゴのマス組み合わせが8*6通り。

マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが15通り(6*5/(2*1))。

数字を取り出す順番を考慮すると,8*6*15*6!通り


(3) ビンゴのマスが5マスのみ埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数

まず3マスビンゴになるように並べる組み合わせは8通り。

埋まっていないマスから2マス選ぶ組み合わせは15通り。

これらを単純に掛け合わせるとダブルビンゴをダブって評価してしまうので,ダブルビンゴの組み合わせを数えて引かなければならない。

そこでダブルビンゴの組み合わせの数を数える。

タテとヨコの組み合わせが9通り,タテとナナメの組み合わせが6通り,ヨコとナナメの組み合わせが6通り,ナナメ同士の組み合わせが1通りなので,ダブルビンゴの組み合わせは22通り。

したがって,ビンゴのマスが5マスちょうど埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数は,数字を取り出す順番を考慮すると,(8*15-22)*6!通り


(4) ビンゴのマスが6マス埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数

これは,ビンゴのマスが6マス埋まる組み合わせの数から6マスも埋まってビンゴができない数を引く方が数えやすい。

ビンゴのマスが6マス埋まる組み合わせの数は,9*8*7*6*5*4/(6*5*4*3*2*1)=9*8*7/3*2*1=84通り

6マスも埋まってビンゴができない組み合わせの数は,2通り(ナナメに空白が揃うパターンしかない。)。

ビンゴのマスが6マス埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数は,数字を取り出す順番も考慮すると,(84-2)*6!通り


(5) したがって6回目でビンゴが1列以上完成する組み合わせは,

8*20*6!+8*6*15*6!+(8*15-22)*6!+(84-2)*6!=(160+720+98+82)*6!=1060*6!通り


(5) 6回目でビンゴが1列以上完成する確率は,

(1060*6!)/(15*14*13*12*11*10)=212/7*13*11=212/1001


(6) 求めるべき確率は,

212/1001-46/273=636/3003-506/3003=130/3003


以上。

◎質問者からの返答

すごいですね。完全に答えを出してしまいましたね。私もこれを用いて落ち着いて計算してみます。ありがとうございました。

関連質問


●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ