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(x^2+2x+3)^0.5=x+1+1/x-1/x^2+1/(2x^3)+1/(2x^4)+...と近似的に展開できるとあるが、この算出の仕方を御教示願いたい。

●質問者: sysysy
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:とある
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/3件

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1 ● bluesy-k
●40ポイント

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%B...

テイラー展開 - Wikipedia

一般に微分可能な「普通の」関数にはテイラー展開と呼ばれる展開が出来て、それは例えば上に示したURLを参考にしてください。特に上のページの二項展開のときの公式を見てください。


それで、問題となっている表式はxが1より非常に大きいときの展開だと思いますが、まず左辺を

x(1+2/x+3/(x^2))

と変形します。

あとは、二項定理のところの式に当てはめるだけです。


テイラー展開の導き方を一応紹介しておきますと一般の関数f(x)に対して


f(x)=f(0)+∫_{0}^{x}(df(y))/(dy) dy


となります。さらにこの右側の積分中のdf(y)/dyもyの関数として


df(y)/dy = {df(y)/dy}@{y=0}+∫_0^y d^2 f(z)/dz^2 dz


とかけます。そうするとf(x)は


f(x)=f(0)+f’(0)+積分


という風にかけるのですがこれを繰り返すとURLに乗っているような式が出てきます。ただし、多重積分をするときの積分範囲に気をつけてください。n!の因子が出てくるのは多重積分での数えすぎを打ち消すためです。


くわしくは、「工学向け」と書かれた(つまり純粋数学者向けでない)解析学の教科書を読まれるといいでしょう。



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