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ある本を見ていたところ図のような数式がありました。
ナブラ演算子の意味はわかっているのですが、途中の計算がどのようになっているのかがわかりません。
どういう計算で右の項のように変形されるのかを教えてください。

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●質問者: watch24
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:演算子 計算
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● practicalscheme
●50ポイント ベストアンサー

昔取った杵柄で、リハビリがてらやってみました。素直に展開・置換微分してけば出るようです。

http://practical-scheme.net/tmp/x.pdf

xの偏微分項しか示してませんが、y、zについても同様でわかりますね?

◎質問者からの返答

たいへん良くわかりました。

pdfまで作っていただきありがとうございます。


2 ● uochoco
●20ポイント

単にめんどくさいだけの計算問題だけどなあ。

フォントによって数式がひどく見づらくなってしまうので,フォントの指定をしておく.

FONT: MS Pゴシック, 12px (2ちゃんねる標準)

MS Pゴシック は字間がつまって見づらいうえ,Mac 等では見れないのだが,たいていこれだろうみたいな. このフォントはぎすぎすしてて腹が立ってくるのでやめてほしいみたいな,Windows はフォントが汚いうえキー配列が凶悪なほど劣悪なので数式なんかを打ってると指が攣って憎しみが涌くみたいな.

∇ = ( ∂/∂x ,∂/∂y ,∂/∂z ) だから,

∇φ = ( ∂φ/∂x ,∂φ/∂y ,∂φ/∂z )

= (φx ,φy,φz ),

| ∇φ | = √ { (φx )^2 + (φy )^2 + (φz )^2 }.


F = ∇φ, G = | ∇φ | , H = F / G ( G: scaler ) と書けば,

∇ ・ ( ∇φ / | ∇φ | )

= ∇ ・ H

= ( ∂/∂x , ∂/∂y ,∂/∂z ) ・ H

= ∂Hx /∂x + ∂Hy /∂y + ∂Hz /∂z.


Hx = φx / G , Hy = φy / G , Hz = φz / G だから,

∂Hx /∂x = ∂(φx / G ) /∂x

= (∂φx /∂x G ? φx ∂G /∂x ) / G^2 ( 分数の微分 )

= ( φxx G ? φx Gx )/ G^2.

同様に,

∂Hy /∂y = (φyy G ?φy Gy ) / G^2,

∂Hz /∂z = (φzz G ?φz Gz ) / G^2.


また,

Gx = ∂G /∂x

= ( 2φx φxx + 2φy φyx + 2φzφzx )

(1/2) { (φx )^2 + (φy )^2 + (φz )^2 }^(-1/2)

= ( φx φxx + φy φyx + φz φzx )/ G.

同様に,

Gy = ( φx φxy + φy φyy + φz φzy ) / G ,

Gz = ( φx φxz + φy φyz + φz φzz ) / G.


したがって,

∂Hx /∂x

=(φxx G ?φx Gx )/ G^2

={ φxx G ?φx (φx φxx +φy φyx +φz φzx ) / G } / G^2

={ φxx G^2 ?φx (φx φxx +φy φyx +φz φzx ) } / G^3

= [ φxx { (φx )^2 + (φy )^2 + (φz )^2 }

? (φx )^2 φxx ? φx φy φyx ? φx φz φzx ] / G^3

={ φxx (φy )^2 + φxx (φz )^2 ? φx φy φyx ? φx φz φzx } / G^3.

同様に,

∂Hy /∂y = { φyy (φx )^2 + φyy (φz )^2 ? φy φx φxy ? φy φz φzy } / G^3,

∂Hz /∂z = { φzz (φx )^2 + φzz (φy )^2 ? φz φx φxz ? φz φy φyz } / G^3.


問題の内積の式に各結果を代入し、偏微分の順序は交換可能であること(φxy = φyx ) を利用して整理すれば,与式を

得る.

∇ ・ H = ∂Hx /∂x + ∂Hy /∂y + ∂Hz /∂z

= { (φx )^2 φyy ? 2 φx φy φxy + (φy )^2 φxx

+ (φx )^2 φzz ? 2 φx φz φxz + (φz )^2 φxx

+ (φy )^2 φzz ? 2 φy φz φyz + (φz )^2 φyy } / | ∇φ |^3.

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。

とても良く分かりました。

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