人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

a(n) = 1
a(n+1) = (5 + a(n))/2
以上の条件式で与えられる数列a(n)に、極限値(n→∞)が存在する(拡散しない)ことを証明する方法を教えてください。数学的帰納法を使わない別の方法を探しています。

●質問者: sorakihu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:存在 拡散 数学的帰納法 極限値 証明
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● n_koji72
●23ポイント

与式を

a(n+1)-5=(a(n)-5)/2

と変形すると,数列[a(n)-5}は

初項1-5=-4,公比1/2の等比数列

a(n)-5=-4(1/2)^(n-1)

a(n)=5-4(1/2)^(n-1)

n→∞のときa(n)→5

高校の教科書での標準的な解法だと思います。

#数学的帰納法使って証明できるのかな...

◎質問者からの返答

高校で習ったことをすべて忘れてしまっていたようです…。この解法でよさそうです。ありがとうございました。


2 ● Z9M9Z
●23ポイント

a(0)=1 の間違いと解釈しまして‥

2a(n+1)-a(n)=5 ですから、両辺を2倍・4倍してあげますと

8a(n+3)-4a(n+2)=20

4a(n+2)-2a(n+1)=10

2a(n+1)-a(n)=5

適当に足すと、

8a(n+3)-a(n)=5+10+20

4a(n+2)-a(n)=5+10

2a(n+1)-a(n)=5

てな具合になるのが分かると思います。まわりくどい?ようするに

(2^n)a(n)-a(0)=5*(2^n-1) となるわけで、両辺割り算などで

a(n)=2^(-n)+5*(1-2^(-n)) になりまして、

2^(-n)はn→∞で0ですから、a(n)は5にだんだん近づくはずです。

‥計算あってるかな‥。


3 ● 松徳礼治
●22ポイント

なんか5-a(n)が半分ずつになっていくようなので、

b(n)=5-a(n)とすると、

b(1)=4

b(n+1)=5-a(n+1)

=5-(5+a(n))/2

=(5-a(n))/2

=b(n)/2

公比1/2の数列が0に収束することの証明は自分で調べてください。

あとは、b(n)が0に収束するので、a(n)は5に収束します。


4 ● ys12
●22ポイント

a_{n+1}=(a_{n}+5)/2

a_{n+1}-5=(a_{n}-5)/2となり

b_{n}=a_{n}-5なる数列b_{n}を考えると

a_{1}=1より数列b_{n}は初項-4公比\frac{1}{2}の等比数列となる。

よってb_{n}=-4(\frac{1}{2})^{n-1}

a_{n}=5-(\frac{1}{2})^{n-3}

\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=5となり収束する。

これでいいんで無いでしょうか。

収束如何を帰納法で証明するというのがよくわかりませんが

◎質問者からの返答

みなさん同じ解法ですね。ありがとうございました。

帰納法では、a[n]が常に増加していること

1<a[n]<5より、Monotonic Sequence Theoremを使います。</p>

関連質問


●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ