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数学的帰納法の質問です。
非常に幼稚な質問であることは分かっておりますので、優しく、易しく回答お願いいたします(^^)。

n=1に時に成り立ち、n=kのとき成り立つと仮定して、n=k+1のときに成り立つことを証明する、ということ自体は分かるのですが、下記のような疑問があります?。

1,2,3,4,5,6,7,8,9
は証明できますし、実際数学的帰納法で直感的に非常に理解できます。

しかし、

1,2,3,【3,2,1】4,5,6,7,8,9

というカッコ内の異物が混入していた場合、初項を取り出し、kの成立を仮定して、k+1という判断をするときに、【】の異物はきちんと考慮に入るのでしょうか?

数学が得意な方には笑っちゃうような質問なんでしょうが、数十年来の疑問なので、よろしくご回答お願いいたします。


●質問者: clinejp
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:数学 数学的帰納法 考慮 証明
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 7/7件

▽最新の回答へ

1 ● ライ_タソ
●35ポイント

そもそもkはどういう数かご存知ですか?

数学的帰納法では、Kは自然数である(自然数は0より大きい整数)と定義されます。つまり、あなたが質問しているようなことは杞憂であります。要はある条件がある自然数に対して成り立つことを証明しているので、カッコ内の数が定義された数に属するのならその様な数でも成り立つのです。

数学的帰納法 - Wikipedia

数学的帰納法


2 ● konchan117
●35ポイント

KASU44 様の回答があってからもまだ質問が開かれていましたので、少し。。。


そもそも数学的帰納法というのは、自然数全体に関する命題 P(n) (n∈N) が真であることを証明する論法なのです。

つまり、kは自然数という前提で、数学的帰納法という法則が編み出されているのです。。。

となると、1,2,3,【3,2,1】4,5,6,7,8,9

という考えは起こらないことになりますよね。



【n=1に時に成り立ち、n=kのとき成り立つと仮定して、n=k+1のときに成り立つことを証明する、ということ自体は分かるのですが】

との記述がありますが、これの前提として「何が」というものが抜けています。


数学的帰納法の問題としては(Wikipediaより引用)

【任意の自然数 n について、0 + 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 であることを証明せよ】

つまり、ここでは「0+1+2+...+n = n(n+1)/2」が、「n=1に時に成り立ち、n=kのとき成り立つと仮定して、n=k+1のときに成り立つことを証明する」ということになるのです。


おわかりいただけましたでしょうか??

http://dummy


3 ● taka27a
●10ポイント

n=kの時に成り立てば、n=k+1のときにも成り立つ。というのであって、かつ「始まり」のn=1の時には成り立っているのだから、1のときOK,んじゃ2のときももちろんOK,んで2のときに成立するのだから3でもいけるよね・・・と永遠に続く訳ですが・・・・

http://www.geocities.co.jp/SweetHome-Ivory/6352/sub6/induction.h...


4 ● urafum
●10ポイント

自然数の公理

任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。

異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。

0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

なので、括弧のように順番が入れ替わることは無いです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0


5 ● niroron
●10ポイント

前提条件をかえてみてください.

本来数学的帰納法は,自然数に用いらられるものですが,あくまで普段私たちが用いているのは10進数の自然数です.

たとえば,その【】を含めて12進数の数を扱った自然数の数列とみなすなら,この命題は成り立ちます.

http://cache.yahoofs.jp/search/cache?ei=UTF-8&p=%E6%95%B0%E5%AD%...


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