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微分方程式についての質問です。
dy/dt = a(y-b)(y-1-ct) t=0の時y=0 を解きたいのですが、上手く解けません。うまく解く方法がありますでしょうか? mathematicaで解いてみた所、Erf(誤差関数?)を含んだ複雑な解が出てきました。きれいに解くことができない式なのでしょうか?また、解けるとしたら、どのような手順でといていけるのでしょうか?詳しく説明していただけるとありがたいです。よろしくお願いいたします。

●質問者: miniminmin
●カテゴリ:科学・統計資料
✍キーワード:CT DT Mathematica 微分方程式 関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● day_diamond
●35ポイント

こんにちは、はじめまして。

結論から言うと不定のガウス積分が必要になりますので、解析的に実行はできないです。

解は次のようになります。(面倒なので a > 0, c > 0 とさせてもらいました。)

y(t) = - (c/a)^(1/2) exp[-q^2/2] / [ C + S(t) ] + b

ここで、q = (a/c)^(1/2) ( ct + 1 - b )

S(t) = \int_{q_0}^{q} exp(-x^2/2) dx

ここで、q_0 = q(t=0) = (a/c)^(1/2) (1-b)

Mathematica を使われるということですので、\int の意味は分かると思いますが、念のため、\int_{q_0}^{q} は∫で上限が q、下限が q_0 です。不定のガウス積分なのでこれ以上は数値積分をするしかありません。

解法は、次のとおりです。

y-b を何かにおいて、t + (1-b)/c を何かにおいて、適当にスケールして、ということをすると、問題の方程式は、

dp/dq = p(p-q) の形にまとまります。

ここで、p = (a/c)^(1/2)(y-b) ,

q = (ac)^{1/2) t + (a/c)^2 (1-b)

です。

f = -1/p とおくと、df/dq = 1 + qf になります。

f = g exp(q^2/2) とおくと、dg/dq = exp(-q^2/2) が得られます。

あとは変数分離法で解いて、来た道をたどって元に戻ると上記の解が得られます。初期条件 t = 0 で y = 0 を使います。

一応、検算しましたが、計算間違いや書き間違いをしていたらすみません。

http://q.hatena.ne.jp/answer

◎質問者からの返答

day_diamond さん、丁寧にご説明いただきありがとうございます。自分で式を追って確認してみます。変数分離法で解く中で、ガウス積分が必要となる変形がでてくると考えればいいですか


2 ● day_diamond
●35ポイント

こんにちは。

ちょっと旅行しておりまして、ご返事が遅くなりました。

ご質問の答えはYesです。

dg/dq = exp(-q^2/2) を変数分離法で解くと、

\int_g(t=0)^g{t) dg = \int_q(t=0)^q(t) dq exp(-q^2/2)

もしくは、

g = \int dg = \int dq exp(-q^2/2) + const.

という積分が必要になるわけですが、この右辺が不定のガウス積分です。上下限が0,∞とかでしたら、積分を実行できますが、半端な場合は解析的には実行できません。(積分結果を初等関数で書けない。数値的にはできる。)

http://q.hatena.ne.jp/

◎質問者からの返答

day_diamond さん、ありがとうございました。勉強不足でチンプンカンプンなので、助かりました。ありがとうございました。

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