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(x+1)の10乗を(x?1)の3乗で割った時の余りの求め方を教えてください。力ずくで割り算するのは無しでお願いします。微分も使わないでください。

●質問者: feynmanbl
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:力ずく 微分
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 6/6件

▽最新の回答へ

1 ● ratbeta
●5ポイント

y = x+1とおくと、yの10乗を(y-2)の3乗で割ることに簡素化できます。

…が、これ以上は割り算するしか私には思いつきませんorz

◎質問者からの返答

ちょっと内容に乏しいですね。


2 ● Mook
●40ポイント ベストアンサー

X=x-1 とおくと問題の式は、

(X+2)^10 / X^3

={10C10・X10+... + 10C8・2^8+10C1・2^9X+10C0・2^10}/X^3

={X^3(...) + 45・2^8X^2+10・2^9X+2^10}/X^3

ここで、問題となるのは余りの部分だけなので

45・2^8X^2+10・2^9X+2^10があまりとなる。

元の値を代入して

11520(x-1)^2+5120(x-1)+1024

あとはこれを解いて、よいのでは?

計算間違いは御容赦ください。

◎質問者からの返答

二項定理を使わない方法は無いでしょうか。


3 ● kidd-number5
●30ポイント

Xのn乗をX^nと表すことにします。

(x+1) = (x-1+2)より、

{(x-1)+2}^10 を(x-1)^3で割れば良いです。

二項定理より

{(x-1)+2}^10 = (x-1)^10 + 10(x-1)^9×2 + ・・・・

10C3(x-1)^3 ×2^7 + 10C2 (x-1)^2×2^8 + 10C1(x-1)×2^9 + 2^10

x-1の3乗で割ったあまりは、つまり

10C2(x-1)^2 × 2^8 + 10C1(x-1)×2^9 + 2^10です。

計算すると

45(x-1)^2×2^8 + 10(x-1)×2^9+2^10

=2^8{45x^2 -90x^2 + 45 + 20x -20 + 4)

=256(45x^2 - 40x^2 + 49)

(これ以上は因数分解できないと思う・・・)

※計算が間違ってたらごめんなさい。方針はこれで良いと思います。もう少しすっきりしたとき方はあるはずですが10年も前のことで忘れました・・・

◎質問者からの返答

二項定理を使わない方法は無いでしょうか。


4 ● apple-eater
●25ポイント

(x+1)^10 を (x-1)^3 で割った余り


y=x-1とおいて

(y+2)^10 を y^3 で 割った余り

を求めればよいことになる。


y^3で割った余りをR(y)、商をQ(y)とおくと

(y+2)^10 = y^3 * Q(y) + R(y)

つまり、Q(y)は(y+2)^10をy^3でくくったものなので、

R(y)はくくれなかったものということになる。

言い換えれば

R(y)は(y+2)^10の2次以下の項ということだ。


あとは二項定理で・・・はNGかもしれないので、

定数項は 2^10

一次の項の係数は 2^9 * 10 ( 10個あるのは自明でしょ )

二次の項の係数は 2^8 * 10*9 ( 10個のうちから一つずつ抜いていって、2回かけるから)

(詳しくは順列組み合わせを参照だ)

これでR(y)が求まった。y=x-1だから代入してやればOK


こんな流れでしょう。

◎質問者からの返答

二項定理を使わない方法は無いでしょうか。


5 ● apple-eater
●10ポイント

(y+2)^10の2次以下の項を求めるのに二項定理を使ってないでしょ。


(y+2)^10の展開をイメージすればどうでしょ。

◎質問者からの返答

ちょっと難しいかな。2項定理を理解しろということですよね。

2項定理も微分もまだ習っていない子供がこの問題を出されたので、困っていたのでした。


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