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1/3は0.333… 2/3は0.666… では3/3は0.999…でなくてなんで1になるんでしょうか。子供の頃からずっと疑問に思っていました。
僕は典型的な文系人間なので、そんな僕にも理解できるように、なるべくわかりやすくお願いします。

●質問者: eriena
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:3/3 333 666 人間 典型的
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 45/45件

▽最新の回答へ

[1]1/3は「1÷3」と読み替える。 kumaimizuki

1/3の「/」は「÷」と読み替えます。

すると


1/3=1÷3=0.33333333...

2/3=2÷3=0.66666666...

3/3=3÷3=1


となりますよね。

つまり、1/3は「1÷3を分数にしたもの」と考えるのです。

1÷3(1/3)を計算すれば、0.33333...になりますし、2÷3(2/3)を計算すれば、0.66666...になります。

3÷3(3/3)を計算すれば1になります。


[2]割り算の基本 ikkun

数字で考えるのではなく、こう考えたらどうでしょう?

まずホールのケーキ一個を三等分にする。その3個を全部食べたら「1」になる、と。


[3]私の考え nandedarou

1/3と2/3は、本当は小数に置き換えることができない。

よって、0.333…と0.666…は、近い値に過ぎません。つまり、正確ではない値。

だから、近い値を足しても、やはりそれは近い値なので、0.999…となってしまい、正確な値1にはならないのだと思います。


[4]表記の違い ROYGB

3/3=0.999…=1です。同じ数でもいろんな書き方ができるわけです。

1/3も、2/6とか12/13とか書けるし、0.5/1.5や0.333…/0.999…でも同じ大きさです。

だから3/3は0.999…でもあるし1でもあるということです。


[5]循環小数の表現の問題です orz_horie

http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...%E3%81%8C1%E3%81%AB%E7%AD%8...

「3/3は0.999…でなくてなんで1になるんでしょうか」

疑問に思われるのも当然のことと思いますが、むしろこのことから

0.999…=1

であることが証明されるわけですね。


[6]>4 訂正 ROYGB

>1/3も、2/6とか12/13とか書けるし、0.5/1.5や0.333…/0.999…でも同じ大きさです。

12/13は1/3と同じじゃないですね。12/36に訂正します。


[7]>3 賛成 taro_no_gimon

1/3,2/3を少数で完璧に表すことは不可能なのです.なので,少数の形で足し算しても近似のした値である0.9999...しか得られません.精確に計算したいのなら,分数の形で計算する必要があります.1/3 * 3 = 3/3=1になります.

1/7や円周率の3.1415926535...のように自然界には少数にすると延々と続く値が存在します.とても面白いことだと思います.

erienaさんの質問はとても良い質問だと思います.


[8]電卓で計算すると… k-mix

電卓上で1÷3を計算すると

0.3333333…

と表示されます

次に2÷3を計算すると

0.6666666…

と表示されます。

次に1÷3+(2÷3)を計算すると

1

と表示されます。

そこで、こう考えてはどうでしょうか。

2÷3は本当は割り切れないので、一番最後の桁を四捨五入するということにして

0.66666666667

とすれば、自ずと1になりますが…

ちょっと苦しいですか?


[9]1/3は小数点では 正確にあらわせないからです。 taknt

0.333… なんていって ごまかしているだけです。

1を三等分した値が きっちりとした小数点で 表せない。

から、質問にあるような状態となります。

これが きっちりとあらわせるものならば すべて 同じとなります。

つまり

1/4=0.25

2/4=0.5

3/4=0.75

4/4=1


[10]同じ数で割れば・・ mairan-tomo603

ある数字を同じ数字で割れば1になる。

1になる=割り切れる

3個のりんごを3人で分ければ割り切れる。

とこんな感じでしょうか?


[11]0.9999999… = 1 だからです。 dungeon-master

ざっくり言ってしまえば表現の差ということです。

0.999… はどこまで行っても9が続くということ。

0.999… = 1 であることの証明方法はいろいろあります。


1 - 0.999… を計算しようとすると、0.000…と、どこまで行っても0が続くことになります。

『どこまっで行っても0』が 0 に等しいということは直感的に納得いくと思います。


とりあえず、参考になる本。

数学にときめく ふしぎな無限

数学にときめく ふしぎな無限


[12]>11 0.9999999… = 1 ではない。 taknt

0.9999999… ≒ 1 なら成り立つけどね。


[13]「…」と「3/3」を厳密に考えてみます hnishiki

1/3を「0.333…」で表した場合、日本語で表現すると「0.333の小数点以下が無限に続くもの」と言うと思います。


すると、2/3も「0.666の小数点以下が無限に続くもの」と考えることになります。


この「無限に続くもの」は、言葉通り「無限に続くもの」としてとらえなければなりません。


すると「0.999…」は、「0.999の小数点以下が無限に続くもの」という概念で考えることになります。


では、言葉通りの表現を厳密に考えましょう

「1」と「0.999の小数点以下が無限に続くもの」は、同じでしょうか?

数学的には「同じと見なす」という考え方もあるのかもしれませんが、私は日本語的に「違う」と思います。

「0.999…」には、どこまで行っても「無限に続く」という条件が付いて回るからです。


ここで「1」と「0.999…」が区別されました。


3/3は「3で割れるものを3等分する」という意味だと考えます。

2/3は「2で割れるものを3等分する」、1/3は「1で割れるものを3等分する」と考えます。


ここに「小数点以下を無限に続けなければいけない」という条件はありません。

3/3で表現される意味には「小数点以下を無限に続ける」という意味は含まれないからです。


すなわち、3/3は、やはり「1」と表現すべきものであり、よけいな条件を付して考えるべきではない、というのが私の見方です。


数学の門外漢が素人理屈で回答しました。長文お許しをば。


[14]違う見方をすると nano327

1/3や2/3は、1を3で割ったうちの1や2という意味で、分数という表現方法です。

3/3は1を3で割ったうちの3ということになります。

もともと1だったのをを3分割したけれど、その3つとなると、【全部】ということになります。つまりもともとの1(全部)になるのです。

ですから、3/3=1なのです。


1/3や2/3は、3分割したものを具体的な数字として表そうとして

1/3=0.333333・・・・

2/3=0.666666・・・・

としていますが、具体的な数字で表すことが出来ません。

なぜならは、1÷3や1÷2は割り切れないからです。

本当は「=(イコール・同じ)」と表すには曖昧なのです。

ですが、物事には「大体」とか、「約」といった、すっぱりと表しきれないものも便宜上、曖昧な表現で現さなければならないこともあるので、「・・・・」を使って数字を表しています。


小数点で計算すれば、0.333・・・+0.333・・・+0.333・・・ は1にはなりません。

「・・・」の現すものが曖昧だから、あくまでも答えは「0.999・・・」にしかなりえません。

けれども、「1÷3」を分数で表せると、「1つを3分割」と、数学的というよりは、国語的な意味合いを持ちます。


【問題】

はらぺこのたろうくんは、ママが作ってくれたパンを食べようとしました。

パンは一口では食べられないくらい大きいパンでした。

そのままでは口に入らないので丁度食べやすい大きさにちぎったら3つに分ける事が出来ました。

たろうくんははらぺこだったので、ちぎったパンを3つとも食べました。


さて、たろうくんはパンをいくつ食べたでしょう。

分割したものの、結局は1つのパンを食べたということです。

分数で表されている1/3は、「1つを3つに分けたうちの1つ」という、国語的な意味なのです。


[15]>12 0.999… ≠ 1 と仮定すると dungeon-master

1/3の小数表記である 0.333…(循環小数)について、その3倍を考えると、

それぞれの桁を3倍して、0.999…(どこまで行っても9、終わりなし)となります。

つまり、1/3 * 3 = 0.333… * 3 = 0.999…

一方 1/3*3 = 1 ですから、1 ≠ 0.999…は矛盾します。


1/3 = 0.333… ではなく 1/3 ≒ 0.333… なのだ という反証もありそうですが、

元々循環小数は分数の解を小数で表現するためのモノなので、イコールなのです。


『無限に続く』についてどう考えるかも、先に紹介した本で詳しく議論されています。


[16]>3 小数では表現できない数字 u2u2u2u

この世の中には小数では表現できない数字が存在してるんです。

1/3や2/3も小数では表現できない数字の1つです。

でも、どーしても小数で表現したいて時に使う数字が0.333…です。

しかし1/3=0.333…ではありません。1÷3は割り切れないので小数で表すと誤差が生じます。

その誤差がある数字同士を足した結果1にならない。0.000…01足りないという結果がでてきます。


[17]>11 0.999…=1 が正解 renmin-plus

わかりやすくはないかもしれませんが、以下。

http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...%E3%81%8C1%E3%81%AB%E7%AD%8...

証明内容がよくわからなくとも、「0.999…=1」であると一般的に理解されている事実はわかってもらえるかと思います。


[18]量と数という表現の不完全性がもたらす誤差 green_antena

量と数の表現はまだ不完全で、穴があるからです。

正確には1/3は1/3という量の概念であってそれ以外の何者でもなく、1/3量は0.333・・・という数ではない。量が合っていないはず。

同じように0.9999・・・も1ではない。

1という数字を完全に均等に3つに分けることができない。と考えるとすっきりするのではないでしょうか。

1を3で割ったのだから、どんなに微小であっても「0.0000・・・1」の余りが出ているはず。

1個の量のケーキを真に3つという数に分けることが出来たとすれば、もともとの定義である「1個」という量の表現に間違いがあり、「0.9999・・・個の【量】」を「0.3333・・・の【量】」ずつ3【個という数】に分けることができたのでしょう。

量と数を混同し

なので、1/3はあくまで1/3というくくり、0.333はあくまで0.333というくくりが正しい。

整数という数字は誤差を丸め込んで整えた数字といえる。

今よりもっと完全性の高い量と数の共通表現が発明されるまでは、量と数の間に不整合が起き続けるのではないでしょうか。


[19]>3 0.999…=1説に変更します。 nandedarou

他の方が紹介している次のページを見て納得しました。

http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...%E3%81%8C1%E3%81%AB%E7%AD%8...

今までは、

0.999…=1として計算すると誤差がでると思ってましたが、全く誤差がでないということですね。

よく考えてみると、誤差が出るのは、0.999などとして近似値を用いた場合ですよね。


[20]>12 は? u1p

「ではない」って。

ちょっと数学を齧ったのならとてもそうは書けないはずだけど。


[21]りんごで例えると retorin

3人でりんごをを分け合う場合、りんごが三個ならちょうど一人一個ずつになりますが、りんごが二個や一個のときはわけ切れません。

(質問の内容の場合だけを考えると)


[22]1ではなく1000000くらいで考えると sunafukinkin

1000000×1/3 = 333333 あまり1

1000000×2/3 = 666666 あまり1

あまりが1もあるのは気持ち悪いですよね。

1000000×3/3 =1000000 あまり0

割り切れますね。すっきりです。

つまり小さな数字を割ると余りは小さくなりすぎて

どちらでもあってんじゃないのという感覚に陥ります。

余りの1をもっと大きなものとしてとらえると

理解できます。と思いますが、いかが??


[23]>5 別ツリー書きましたが、撤回してこの回答に賛同 hnishiki

リンク先の代数による証明で納得しました。

数学ってうつくしいなあ。


[24]極端な言い方をすれば sttjapan

1/3=0.333・・・は誤魔化しなんです

ちゃんと表せないから0.333・・・って表記しているのです

どんなに3が続いたとしても厳密に1/3にはなりません

つまり3/3=1が正しくて1/3=0.333・・・が近似なんです


[25]>9 同意します。 gto701634

この説に同意します。


[26]>5 1/3=0.333・・・は近似値ではありません。 orz_horie

言葉足らずの説明でしたね。

他ツリーで幾人か、「1/3=0.333・・・は近似値である」といった意見が見られますが、これは間違っています。1/3=0.333・・・は近似値ではありません。なぜならば、3が無限に続くからです。つまり、

9が無限に続けば、

0.999…=1

であり、9が無限に続かなければ、

0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999≠ 1

どこかで9が終わってしまうため、それは近似値になります。

「無限に続く」と「どこかで途切れる」は、大きな違いがあります。いっしょにしてはいけません。

無限に続く場合、なぜ1になるかの証明は他ツリーも説明してくださっていますし、外部リンクを参考にしてもらってもかまいません。少数という表現方法だとこうなる、というだけの話です。

今回は数学の問題です。正しいか間違っているかはハッキリしています。概念的に理解しづらいのはわかります。でも、9が無限に続けば0.999…=1になることは、明らかに証明できる事実なんです。近似値ではなく、きっちりと成り立つ等式です。


[27]10進数で考えるからいけないんです quintia

3進数で考えましょうよ!

1→1

2→2

3→10

4→11

:

:


1÷3 → 0.1

2÷3 → 0.2

1÷9 → 0.01

:

:


てな感じです。

1/3 × 3 という10進数のかけ算は 3進数ではどう書きますか?

0.1 × 10 ですね?

ほらなんの不思議もなく 0.1 × 10 = 1 になったじゃないですか!


じゃ、10進数の 1/2 × 2 = 1 を 3進数で書くとどうなるでしょう?

1/2 は 3進数で書こうとすると 0.11111111…… という循環小数になります。

3進数だと 0.11111111……× 2 = 0.22222222……になりますね?

さて、この「0.22222222…… という数」はなんでしょう?

さっきはさらっと書いてしまったので、もう一度確認しますよ。

1/2 × 2 = 1 ですね? これを認めない、間違いだ、なんて言いませんよね?

ならば 3進数表記下での循環小数 0.2222222…… は 1 以外の何か別の数だというのですか?


同じように、10進数の 0.9999999…… も、1 なのですよ。


[28]>27 訂正 quintia

>1/3 × 3 という10進数のかけ算は 3進数ではどう書きますか?

1/3 × 3 というかけ算は 3進数ではどう書きますか?


[29]それは、1/3は少数では正確に示せないからです。 p243

1/3は0.333…

計算すると永遠に3が出てきます。ですから......とかかいてごまかしているわけです。それと、1/3は1を均等に3等分したものだから、1/3+1/3+1/3=3/3=1になるわけです。


[30]>29 私も最初はそう思ったんですけど… nandedarou

1/3=0.333… と書いておきながら、

本当はたまに別の数字が出てきたり、本当はいつか終わったりするなら、ごまかしですよね。

でも、本当に3が永遠に続くんです。ごまかしてはいないと思うんです。

私は、0.999…は、1の近似値である思っていましたが、

他の方の書き込みにより、1を別の表現で表したものであると気付きました。

今は、どうやったらそれを直感的に分かってもらえるかを考えております。


[31]>27 そうですね!!! nandedarou

quintiaさんの解説を見て、本質的に分かった気がします。

私の理解を次のような物語風の説明にしてみました。

お時間が合ったら、読んでみて下さい。

●先生が十進君と三進君に言いました。

「1個のりんごを3人に平等に分けなさい。」

十進君は、いつでも10個に分けてから考えます。

まず、10個に切り刻みました。それを3人に3切れずつ渡すと、1切れ余りました。

次に、その余った1切れをさらに10個に分け、それを3人に3切れずつ渡すと、1切れ余りました。

次に、…。

いつまでも終わりません。

三進君は、いつでも3個に分けてから考えます。

1個のりんごを3個に切り分け、3人に1切れずつ渡しました。

●先生が十進君と三進君に言いました。

「1個のりんごを2人に平等に分けなさい」

三進君は、いつでも3個に分けてから考えます。

まず、3個に切り刻みました。それを2人に1切れずつ渡すと、1切れ余りました。

次に、その余った1切れをさらに3個に分け、それを2人に1切れずつ渡すと、1切れ余りました。

次に、…。

いつまでも終わりません。

十進君は、いつでも10個に分けてから考えます。

あっさり1個のりんごを10個に切り分け、2人に5切れずつ渡しました。

●先生が十進君(6年生)と十進ちゃん(1年生)に言いました。

「1個のりんごを1人に平等に分けなさい。」

十進君は、いつでも10個に分けてから考えます。

でも、何年も勉強してきました。今回は分ける必要のないことくらい経験上知っています。

1個のりんごをそのまま、1人に渡しました。

十進ちゃんは、いつでも10個に分けてから考えます。

まず、10個に切り刻みました。

「せっかく切ったのに、すぐに全部渡すのは嫌!後で渡すなら一緒ですよね?」

先生は言いました。「絶対に自分で食べたりしちゃダメですよ。守れるならいいです。」

先生の許可を得た十進ちゃんは、1切れ手元に残して、1人に9切れ渡しました。1切れ余りました。

次に、その余った1切れをさらに10個に分け、それを1人に9切れ渡すと、1切れ余りました。

次に、…。

いつまでも終わりません。

でも、十進ちゃんは、決して自分で食べたりしてませんから、間違ったことをしている訳ではありません。

●考察

通常私たちは、学校教育のせい(か)で10個に分ける癖(10進法で考える癖)が着いているんですね。

でも、よく考えると2個に分けて考えてもいいし、5個でもいい…。

さらに、時、分、秒は60進法でやってるので、10進法が当たり前でもない。

コンピュータの世界では2進法や16進法が使われている。

どのやり方が正しいとか間違いとかいうことではなく、表現が違うということ。

しかし、ここで疑問がわきます。エクセルが計算間違いする(http://www.asahi-net.or.jp/~FV6N-TNSK/gates/excel.txt)と言うのです。

表現が違うだけで、正しいとするならば、10進法を2進法で扱っても計算間違いはしないハズ。なのに、なぜエクセルは間違うのか?

私はこれを読んでみて、2進法で表せない数があるというよりも、無限に続くということをコンピュータの計算に反映させるのが難しいからなんだと理解しました。

以上、素人考えで不正確な点や誤りもあると思いますが、私はなんとなく感覚的に分かったつもりになりました。

突っ込みどころ満載かも知れませんが、あえて投稿しました。


[32]>31 一般化すると quintia

エクセルの件は0.1が2進数で有限の桁で表現できない(循環少数になる)ということから起きる問題ですね。


もう少し一般化すると、どんな基数(ただし2以上の自然数)を採用しても、有限の桁で少数表現できない有理数が必ず存在します。

その典型が(n+1)進数での1/nで、必ず0.1111…となります。

これにnをかけると0.nnnn…という表記になってしまいます。

ところが同じ計算をn進数で書くと

0.1×10=1

になることがわかります。


0.9999…=1

は証明するようなものではなくて、少数点表記がかかえる限界の発露だと私は思っています。


[33]>30 循環少数を分数に変換 p243

>1/3=0.333… と書いておきながら、

>本当はたまに別の数字が出てきたり、本当はいつか終わったりす

>るなら、ごまかしですよね。

そうですね。無限に3を並べるということが不可能と言いたかったのですが。


だれか説明しているかもしれませんが

X=0.99999......

10x=9.9999999999.......

10x-xを求めてみましょう

筆算形式でかくと

10x(=9.9999999999.......)

-x(=0.9999999999......)

9x =9.0000000000

したがって x=1 (=0.99999......)


これは循環少数を分数になおす計算方法です。

0.99999......を分解して

0.99999......=0.9+0.09+0.009.......

0.9+0.09+0.009.......無限等比級数の和

という公式を使えます。ここで1に収束するといえるのですが、収束をうまく説明できないですね。ちょっと調べながら考えてみます。

きっとまだごまかされたような感じではないでしょうか?


[34]遺産相続と考えればわかりやすい FireBird

遺産相続に置き換えてシンプルに想像してみてください。

まず3/3を基本にして考え始めましょう。

親の遺産が同じものが3個あったとすると、

3人の子供のそれぞれの取り分はきちんと

まちがいなく1個づつです。

遺産が2個だったとすると、3つにわけるときに

手間がかかって わずかに手間賃分が目減りする。

遺産が1個だったとすると、3つにわけるときに

これも手間がかかって わずかに手間賃分が目減りする。

3人の子供は、限りなく均等に分けれれば文句がないので、

微小な手間賃の目減り分は、気にならなくて

無視できることになります。

ゆえに1/3は0.333…、2/3は0.666…、3/3は1でよいのです。


[35]0.999…=1 です! siseiall

「3/3=0.999…」

でもあり、

「3/3=1」

でもあります。

「0.999…=1」

なのです。

そこに疑問が生じるのは「0.999…」という表現、表記にあると思います。

この「0.999…」といのは、「…」のあとにもずっと9が無限に続くという意味ですよね。しかしこの無限にというのはまさに「…」を使ってしかあらわせません。つまり抽象的、イメージ的な表記にならざる負えないということです。


[36]数字じゃなくて概念でひとつ。 darktribe

(難しい質問ですね...)

まず、割り算(X÷Y=Z)をこう考えます。

「X個のリンゴをYつのグループに公平に配分するには、1グループあたりZ個ずつ割り振ればよいです」

そうすると、「3÷3=1」は、「3個のリンゴを3つのグループに公平に配分するには、1グループあたり1個ずつ割り振ればよい」となります。

これを「1÷3=0.33333…」で考えると、本当はこうなります。

「1個のリンゴを3つのグループに公平に配分するのは無理です。」

どうがんばってもリンゴを完全に3分割するのは無理です。

(見た目や重さ、原子レベルで差がでてくるので)

でも、数学では「計算上は答えは出る!」と言い切るわけなので、「1つのものを3分割すると答えは0.3333…だ」と言うわけなのですが、この場合、小数点以下は無限桁まで「3」が続きます。

本当は割り切れないんですね。

しかし、計算問題などで「無限に3を書くのが正解」っていうのはありえないので、適当なところで3を書くのをやめ、切り捨ててしまいます。

そのため、「1÷3=0.333…」「2÷3=0.666…」という回答にしてしまうんですね。

なので、むしろ疑問を持つべきなのは「3÷3=1」ではなく、「なぜ1÷3=0.333…で納得しなければならないか」「なぜ2÷3=0.666…で納得しなければならないか」であり、その答えは上になります。


[37]>22 ^^ shota5623

おなじく


[38]分数の意味から考えると blue-tears

3/3というのは

例えば、3つのものを3人に1個ずつあげる場合、

2/3というのは

2つのものを3人にあげる場合、

1/3というのは

1つのものを3人にあげる場合、

の1人あたりのもらえる量に相当します。

3/3であれば1個まるまるもらえます。

2/3であれば約67%分もらえます。

1/3であれば約33%分となります。

ここで、「約」とつけました。

つけた理由は1/3=0.333・・・が成立しないからです。

なぜなら、0.333・・・+0.333・・・+0.333・・・=1にはならないからです。

(1/3+1/3+1/3=1は成立します)

3/3が1になるのがおかしいのではなく、

1/3=0.333・・・がおかしいのです。

計算機や表記上でとりあえずそう表しているだけと

考えればいいと思います。

割り切れないというのがそういうことです。

ちなみに0.333・・・=0.3(3の上にドット)で0.3の後に

無限に3が続くことを意味します。

結論として、3/3=1を基準にして考えてみてください。


[39]3/3=1=0.999…は、近似値ではなく正確な表現だと考える理由 nandedarou

3/3=1=0.999…は、近似値ではなく正確な表現だと考える理由は、以下のとおりです。

今回の説明でerienaさんになんとなく分かってもらえるのではないかと思うのですが…。ダメだったら、ごめんなさい。

1/3=0.333 余り0.001

2/3=0.666 余り0.002

両辺をそれぞれ足して

3/3=0.999 余り0.003

=0.999 + 0.003/3

=0.999 + 0.001

=1

余りを小数で書くのは、普通じゃないですが、

上記の理屈は、多分誰でも理解できますよね。

1/3=0.333…

2/3=0.666…

3/3=1=0.999…

の様に…を使った表現は、上記の「余り」を使った表現と同値(つまり、同じことを別の表現にしただけ)だと思うのです。

もし同値ならば、…を使っても、近似値ではなく、正確な値を示していることになると考えます。

小数で「余り」を使うのは、一般的ではない為、通常、計算を続けることになり、…と表現せざるを得ない。

…の中身は、みなさんもご存知のように「永遠に同じ数字が続く」こと。なんの不明確な部分もありません。

「永遠」という表現が不明確だという指摘もあるかも知れませんが、本当に計算上はそうなるのだから、やはり正確な表現です。

ただし、数の大きさとして、実感がもてないから気持ち悪いと思います。

そこで、最初に書いたように「余り」を使った表現に直せば、実感が持てると思います。どちらの表現も正確だと思います。

5回目の回答になってしまいましたので、これで最後ですが、

物語風に説明した

http://q.hatena.ne.jp/1152759792/25731/26190

も参考にして、私の考えをご理解してもらえたら幸いです。

なお、当初は上記と全く別の考えをしておりました。

他の方々のご説明により、上記の理解に至りましたこと感謝しております。

ちなみに、私は専門化ではありませんので、間違っていたら、多分こういうことを言いたいのだろうと善意に解釈してもらえたら幸いです。


[40]>31 面白い喩え話だと思います quintia

狭いPHSの画面で読んだので、十進君と十進ちゃんが最初府に落ちなかったのですが、読み返してみて「面白いな」と思いました。

十進君と三進君は私が示したかったことを、とても上手に表現していると思います。


[41]両方正解です Ma2

つまり、1と0.999…は同じ数を表しているのです。

”9…”は「途中でわからなくなってうやむやにしている」という意味ではなく、「無限に9が続く」という意味なので。

見た目があまりにも違うのでゴマ化されやすいですが、

「疑問に思っていた」ということは正解を直感的に理解していたということですね。おめでとうございます。


ちなみに、数学で正式には9の上に点をつけて表現します。複数桁の循環小数のときは繰り返しパターンの最初と最後に点をつけます。


[42]0.9999≒1 electrons

ものさしから考えれば、いくら優れたものさしを作る機械であっても電子顕微鏡からみれば必ず誤差はあります。もし、1センチのめもりが、0.9999999999999999999999999センチだとしてもべつに、1センチです。なぜなら、人間の扱える範囲を超えているからです。

つまり、1センチメートルも0.999・・・センチメートルもおなじと考えていいのです。


[43]自分の中で解決したような気がするので書いてみます p243

1/3は少数では正確に示せないと書きました。

皆様のご意見をと思いましたのであえて新しいツリーを立ち挙げてます。

1/3=0.33333.....

3が永遠に続くのであればこれは正確といえるかもしれません。

しかし、これをイメージできていないわけです。永遠と頭の中で考えながらもその最小のけたをイメージしてその次にも3がと、、いうような、、、つまり、桁で考えるとその次も3ですが、実際はその桁の1/3の位置を示していてそれをその桁で示し切れないからその次の桁があって、それが1/3のイメージなわけです。

そういうわけで、0.33333.....から1/3をイメージし損ねているのです。

もしから1/3がイメージできていれば

0.33333.....+0.33333.....+0.33333.....=1

と書いてしまうでしょう。

0.33333.....は正確にその数値をイメージできないわけです。

ではこれを機械的に計算したとして、

0.99999......はどうでしょう。1がイメージできますか?できないですね。これは無限に9が続くということをイメージできないからです。頭の中で9を並べるとどうしても有限の枠を超えないのです。

ではこんな式を考えて見ましょう。

X(1)=0.9

X(2)=0.99

という関数みたいなもの設定します。X(無限)=0.99999.......となるだけです。

1-X(1)=0.1

1-X(2)=0.01

を考えてみましょうX(n)括弧のなかが有限である限り1-X(n)は必ず最後に1がきます。

nが無限であればどうでしょう。1-X(無限)=0.00000....

0が無限に続くわけですそういうことは最後の1なんてあり得ませんね1-X(無限)=0なわけです。

これが無限に続くという概念と実際の感覚とのギャップです。

1-X(無限)=0ですから

X(無限)=1

0.9999999.......=1なのです。


[44]ファジイ理論です。 ni-papaltuti

1が正解

ズット続くのは、答えが出ないから

曖昧

これを昔流行ったが、ファジイと云う!


[45]これはつまり、0.3333・・・・+0.6666・・・・がなぜ1になるのかということですね? onepicture

書くのが、たぶん面倒だからじゃないですか?

正直、そんなに厳密/緻密なことはこの世では必要にはならないからだと思います。

3/3が

0.99999999・・・・・

でも

1

でも

1.0000000・・・・・・

であっても、あんまり意味はないからでしょう。ぼく自身、上のどれであっても支障をきたすような生活は送っていませんから。

そうやって割り切っていくのがきっと大人の世界なんだと思います。

ただ、個人的には0.9999・・・・と1は違うものであってほしいし、、、、ただのボタンの掛け違いではなくね。きっとそこには厳密な違いが存在するもんだと信じてる。

それはappleとリンゴが違うような感じでの差が必ずあると思う。もしくは、モスラとガメラの違いであってもいい。あるいは殺人と慈愛とか。

ある人には、まったく同じように見えても、他の人には違うもののように見えると言うことのほうがやっぱり、事実に近いんだと思います。

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