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連続複利の式
lim_n→∞(1+r/n)^(nt) = exp(rt)
の導出方法を教えてください。

●質問者: sirusleagal
●カテゴリ:経済・金融・保険 科学・統計資料
✍キーワード:NT 連続
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 5/5件

▽最新の回答へ

1 ● kurukuru-neko
●10ポイント

http://www.cs.reitaku-u.ac.jp/~ykago/semi/semi1-2.html

◎質問者からの返答

lim_x→∞(1+1/x)^x = e の導出を問うております


2 ● tatsumi-da
●40ポイント

関数y=log (1+x)は、原点において接線の傾きが1になるので、

lim_x→+0 (log(1+x))/x = 1

logの性質より

lim_x→+0 (log(1+x))^(1/x) = 1

ここで、y=1/xとおくと、x->+0のときy->∞なので、

lim_y→∞ (log(1+1/y))^y = 1

logの連続性から

lim_y→∞ (1+1/y)^y = e

◎質問者からの返答

ありがとうございました


3 ● ゲロンチャ
●30ポイント

lim_x→∞(1+1/x)^x = e

→lim_(x→∞)xlog(1+1/x)=1 : 両辺のlog(底はe)をとる

→lim_(x→∞){log(1+1/x)/(1/x)}=1

→lim_(s→0){log(1+s)/s}=1 : 変数の置換(s=1/x)

→lim_(s→0)[{log(1+s)-log1}/{(1+s)-1}]=1

→d/dr(logr)=1 (r=1) : 微分の定義式を適用

→1/r=1 (r=1)

→1=1

導出というか証明ですが。

http://www.google.co.jp/


4 ● apple-eater
●10ポイント

つまり、ネイピア数eの求め方ですね?

上記リンクでほとんど回答されているのですが、

まず、exp(x)を定義します。

eはexp(1)です。

exp(x)は微分方程式

exp(0)=1 , exp(x)の導関数=exp(x) で定義されます。

このことから、exp(x)を級数展開して

(級数展開はOK?)

exp(x) = lim ?(1/n!)x^n (上記リンクの数式参照のこと)

exp(1) = lim ?(1/n!)

二項定理より、lim (1 + 1/n) ^n


5 ● apple-eater
●20ポイント

補足というか言い訳:

最後のツメは二項定理を使うもんのそのままではないことに気がついた。

(1 + 1/n )^n の二項展開の極限を考察する必要がありました。

解析入門30講(P.179)

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  • 作者: 志賀 浩二
  • 出版社/メーカー: 朝倉書店
  • メディア: 単行本

図書館で探してみて下さい。

◎質問者からの返答

深そうですね。読んでみます。

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