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数学の問題です。
直角三角形ABCの斜辺BC上を点Pが動く。Pから辺AB,ACに垂線PQ,PRを引く。この時、三角形PQRの面積を最大にする点Pの位置を求めてください。

●質問者: pon--ta
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:三角形 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● kosuke2020
●27ポイント ベストアンサー

A(0.0),B(a.0),C(0.b)とおく。

辺BC上の点Pは、直線y=(-a/b)x+a上の0≦x≦bの範囲で動く点なので、P(t,(-a/b)t+a)(0≦t≦b)とおける。

点Pから辺ABに引いた垂線との交点Qは(0,(-a/b)t+a)

点Pから辺ACに引いた垂線との交点Rは(t,0)とおける。

このときの三角形PQRの面積をSとすると、

S=(1/2){(-a/b)t+a}t=(1/2){(-a/b)t^2+at}

=(1/2)[(-a/b){t-(b/2)}^2+(ab/4)]

となり、t=b/2のとき、Sは最小値ab/8をとる。(終)

http://www.yahoo.co.jp/

◎質問者からの返答

ご解答ありがとうございました。


2 ● jhelomgreen
●33ポイント

三角形PQRの面積の最大は四角形PQARの最大。四角形PQARの最大は正方形。PQARを正方形にする正方形一辺の長さは(AB-x)/x=x/(AC-X)が成り立つx。まちがってなければx=(ABXac)/(AB+AC)かな・・・

◎質問者からの返答

ご解答ありがとうございました。


3 ● kosuke2020
●26ポイント

答えの点Pの位置を書き忘れました。すいません。

上記の答えの通り、t=b/2のときSが最小となるので、そのときの点Pの座標は

(t,(-a/b)t+a)=(b/2,(-a/b)(b/2)+a)=(b/2,a/2)

つまり、辺BCの中点ということになります。

◎質問者からの返答

ご親切にありがとうございます。


4 ● aska186
●10ポイント

PがBCを1\,:\,\alphaに内分しているとすれば、

BQ\,:\,QA=AR\,:\,RC=1\,:\,\alpha

よって、QA=\frac{\alpha}{1+\alpha}AB,\qquad AR=\frac{1}{\,1+\alpha\,}AC

問題となる\triangle PQRの面積は、

\frac{1}{\,2\,}QA\cdot AR=\frac{1}{\,2\,}AB\cdot AC\frac{\alpha}{(1+\alpha)^2}

=\frac{\alpha}{(1+\alpha)^2}\triangle ABC

ここで、

\frac{\alpha}{\,(1+\alpha)^2\,}=\frac{1}{\frac{1}{\,\alpha\,}+\alpha+2}

の最大値は、分母の最小値のときである。

(相加平均)\ge(相乗平均)の公式から、

\frac{1}{\,\alpha\,}+\alpha\ge 2

となることから、分母の最小値は4

このときの\alphaの値は、\alpha=1となるから、

求めるPは、辺BCの中点である。

このとき、三角形PQRの面積は、三角形ABCの面積の4分の1となる。

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