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数学の問題です。
実数p、qを係数とする2次方程式x^2+px+q=0は2つの異なる実数解α、βをもちます。この時α+1、
β+1が2次方程式x^2-3p^2x-2pq=0の解となるようなp,qを求めて下さい。

●質問者: pon--ta
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:2次方程式 3P PX 実数 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● nattow
●38ポイント ベストアンサー

x^2+px+q=0は2つの異なる実数解α、βを持つことより

x^2+px+q=(x-α)(x-β)

x^2+px+q=x^2-(α+β)x-αβ・・・(1)

α+1、β+1が2次方程式x^2-3p^2x-2pq=0の解となることより

x^2-3p^2x-2pq=(x-(α+1))(x-(β+1))

x^2-3p^2x-2pq=x^2-(α+β+2)x+(α+1)(β+1)・・・(2)


(1)より

p=α+β, q=αβ

(2)より

3p^2=-(α+β+2), -2pq=(α+1)(β+1)


後はただの四元連立方程式です。

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。


2 ● すまーとぼーい
●35ポイント

nattow さんの回答の (1) は誤りで、正しくは

x^2+px+q=x^2-(α+β)x+αβ → -p=α+β, q=αβ となります。

これと 3p^2=-(α+β+2), -2pq=(α+1)(β+1) より p,q を求めると、

(p,q)=(-1,2)または(2/3,-1/7)

なのですが、ただの四元連立方程式ではありません。

α、βはx^2+px+q=0の2つの異なる「実数解」なので、虚数解となる(p,q)=(-1,2) はこの条件に反します。

従って正しい答えは (p,q)=(2/3,-1/7) です。

◎質問者からの返答

ご丁寧にありがとうございます。

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