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数学の問題です。
xについての2次方程式x^2+(2t+k+1)x+kt+6=0を考えます。この2次方程式が、-1≦t≦1となるすべてのtに対して実数解を持つためのkの範囲を求めて下さい。また、この2次方程式が、-1≦t≦1となる少なくとも1つのtに対して実数解を持つためのkの範囲を求めて下さい。

●質問者: pon--ta
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:2次方程式 KT 実数 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● OKAMON
●27ポイント

とりあえず最初の問題だけ載せたいと思います。

答えから言うと、 -1-2√6≦-5 , 3≦-1+2√6

考え方は、まず上記の左辺をtの1次方程式と見て整理し、(左辺)=f(t)とでもおきます。

そして、問題文の条件より、 f(-1)・f(1)≦0

を解けば出てきました。

あっていると思うのですが、どうでしょうか。

もうひとつの問題は今から考えます。


2 ● Mook
●33ポイント ベストアンサー

判別式をDとすると、実数解を持つ条件はD≧0であるから、

D=(2t+k+1)^2 -4(k+6)

=4(t+\frac{1}{2})^2+k^2+2k-24


ここで、1≦t≦1のすべての範囲でDが0以上になる条件はt=-\frac{1}{2}のときにD≧0であるから、

D=k^2+2k-24≧0

なので、解はk≧4またはk≦-6


また、1≦t≦1の少なくとも1つのtでDが0以上になる条件はt=1のときにD≧0であるから、

D=k^2+2k-15≧0

なので解はk≧3またはk≦-5

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。


3 ● SOUGETSU
●27ポイント

一つ目の問題は普通に判別式を解けばいいかと思います。

判別式をうまくまとめると、

(k+1)^2≧-4(t+1/2)^2+25

となり、これが-1≦t≦1で常に成り立つkの条件が

求めるものになります。

右辺の最大値はt=1/2のときの25ですので

左辺が常に25以上となる k≦-6,4≦k が求めるべき範囲ではないかと。

二つ目は上記判別式の値が少なくとも-1≦t≦1内の一つのt値で成立するという条件で、

右辺の最小値がt=1のときの16ですから

左辺が少なくとも16以上となる、k≦-5,3≦k が答えではないかと。

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。

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